Matrices de Pauli

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Las matrices de Pauli, deben su nombre a Wolfgang Ernst Pauli, son matrices usadas en física cuántica en el contexto del momento angular intrínseco o espín. Matemáticamente, las matrices de Pauli constituyen una base vectorial del álgebra de Lie del grupo especial unitario SU(2), actuando sobre la representación de dimensión 2.

Forma de las matrices[editar]

Cumplen las reglas de conmutación del álgebra de Lie \mathfrak{su}(2):

\left [\sigma_i,\sigma_j \right ]=2i\ \epsilon_{ijk}\ \sigma_k

Donde:

\epsilon_{ijk}\; es el Símbolo de Levi-Civita (pseudotensor totalmente antisimétrico).

También satisfacen la siguiente regla de anticonmutación

\left \{\sigma_i,\sigma_j \right \}=\sigma_i\sigma_j+\sigma_j\sigma_i=2\delta_{ij}I\

Otras propiedades importantes son:

\sigma_x^2 = \sigma_y^2 = \sigma_z^2 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = I
\operatorname{det} (\sigma_x\sigma_y) = -1
\operatorname{Tr} (\sigma_i) = 0

Caso de espín 1/2[editar]

Las matrices de Pauli son tres, al igual que la dimensión del álgebra del Lie del grupo SU(2). En su representación lineal más común tienen la siguiente forma:

 \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad
\sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \qquad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

Caso de espín 1[editar]

Por abuso de lenguaje se suele llamar matrices de Pauli a otras representaciones lineales diferentes a las usadas en el caso de espín 1/2 anterior. Por ejemplo para representar el espín de una partícula con valor 1, se usa la representación lineal mediante matrices de 3x3 siguiente:


J_x = \frac\hbar\sqrt{2}
\begin{pmatrix}
0&1&0\\
1&0&1\\
0&1&0
\end{pmatrix}
\qquad
J_y = \frac\hbar\sqrt{2}
\begin{pmatrix}
0&-i&0\\
i&0&-i\\
0&i&0
\end{pmatrix}
\qquad
J_z = \hbar
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&0&0\\
0&0&-1
\end{pmatrix}

Caso de espín 3/2[editar]

Análogamente al caso anterior para espín 3/2 es común usar la siguiente representación:


J_x = \frac\hbar2
\begin{pmatrix}
0&\sqrt{3}&0&0\\
\sqrt{3}&0&2&0\\
0&2&0&\sqrt{3}\\
0&0&\sqrt{3}&0
\end{pmatrix}
\qquad
J_y = \frac\hbar2
\begin{pmatrix}
0&-i\sqrt{3}&0&0\\
i\sqrt{3}&0&-2i&0\\
0&2i&0&-i\sqrt{3}\\
0&0&i\sqrt{3}&0
\end{pmatrix}
\qquad
J_z = \frac\hbar2
\begin{pmatrix}
3&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&-1&0\\
0&0&0&-3
\end{pmatrix}

Aplicaciones[editar]

Las matrices de Pauli tienen gran utilidad en mecánica cuántica. La aplicación más conocida es la representación del operador de espín para una partícula de espín 1/2, como un electrón, un neutrón o un protón. Así el observable que sirve para medir al espín, o momento angular intrínseco, de un electrón, en la dirección i, viene dado por el operador autoadjunto:

 \hat{S}_i = \frac{\hbar}{2}\sigma_i

En la representación convencional, los autoestados de espín corresponden a los vectores:

\left \{| \uparrow \rangle = (1,0); | \downarrow \rangle = (0,1) \right\}

Véase también[editar]

Notas[editar]