Usuario:Gusbelluwiki/ZDPTeorema bandera Brit

Traducirlo como artículo nuevo para la wiki del castellano y estudiar usos y aplicaciones del interesante teorema British flag theorem, (para extender el artículo en ambas wiki's, pues es muy corto).

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Este gráfico no está completo (le faltan las lineas más importantes), hacer uno mejor.

En geometría euclidiana, el teorema de la bandera Británica​​ expresa:

(Teorema de la bandera Británica) Si se selecciona un punto cualquiera P perteneciente al plano del rectángulo ABCD entonces:​ $AP^{2}+PC^{2}=BP^{2}+DP^{2}.\,$

Denominación del teorema

La bandera Británica,​ también conocida como «Bandera de Unión».​

A este teorema se lo a denominado Bandera Británica​ (Bandera de Unión)​ porque cuando se elige un punto P cercano al centro del rectángulo ABCD y luego se trazan los segmentos auxiliares AP, PC, BP, DP, zP, xP, wP y yP, estos adoptan unas direcciones, que tienen un cierto parecido con las direcciones de las líneas principales de la "Bandera del Reino Unido". Así mismo hay que notar que cuando el punto P se encuentra muy alejado del centro del rectángulo este parecido se pierde. Pero hay que reconocer que es fácil recordar la estructura gráfica del teorema, al pensar en la disposición de las direcciones de las líneas de dicha bandera, en la cual cuatro vértices y cuatro puntos intermedios perimetrales se unen a un punto más o menos central. Ésta es una denominación escogida más bien por didáctica y no necesariamente por nacionalismos.

Demostración

In Figure 1​, by teorema de Pitágoras, we have:

• $AP^{2}=Aw^{2}+Az^{2}\,$
• $PC^{2}=wB^{2}+zD^{2}\,$
• $BP^{2}=wB^{2}+Az^{2}\,$
• $PD^{2}=zD^{2}+Aw^{2}\,$

Therefore:

$AP^{2}+PC^{2}=Aw^{2}+Az^{2}+wB^{2}+zD^{2}=wB^{2}+Az^{2}+zD^{2}+Aw^{2}=BP^{2}+PD^{2}\,$

Afinidades

• El teorema de la bandera Británica está basado en el teorema de Pitágoras (es asombrosamente simple y de gran utilidad). Dado cualquier punto P dentro de un rectángulo (o incluso fuera de el), y las líneas que lo unen a cada par de esquinas opuestas, la suma de los cuadrados de uno cualquiera de esos pares es igual a la suma de los cuadrados del otro par de líneas opuestas.
• Si bien el teorema de la bandera Británica es "parecido" al teorema de Ptolomeo (cuadriláteros cíclicos), se diferencia del mismo en dos importantes puntos, a saber:

• Tiene como restricción la de operar solo con cuadriláteros rectángulos (los cuales son solo un subconjunto de los cuadriláteros cíclicos).
• Tiene la ventaja de poder calcular las medidas de las distancias de los vértices a cualquier punto P coplanar elegido dentro o fuera del rectángulo ABCD y no queda restringido solo al punto de cruce de las diagonales del mencionado rectángulo.

Generalizaciones

El teorema de la bandera Británica, es generalizable por medio del teorema de Pitágoras, a puntos P en ℝ³ fuera del plano del rectángulo ABCD.

Véase también

• Teorema de Pitágoras
• Teorema de Ptolomeo
• Cuadrilátero cíclico

Notas y Referencias

• Torneo de Matemáticas Harvard-MIT soluciones (en inglés, ver problema número 28).