Test de Pépin

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En matemáticas, el test de Pépin (por el matemático francés P. Pépin) es un test de primalidad que se puede emplear para determinar si un número de Fermat es primo. Es una variante del test de Proth.

Descripción del test[editar]

Sea F_n=2^{2^n}+1 el n-ésimo número de Fermat. El test de Pépin establece que para cada n > 0,

F_n es primo si y sólo si 3^{(F_n-1)/2}\equiv-1\pmod{F_n}.

La expresión 3^{(F_n-1)/2} se puede evaluar módulo F_n elevándolo repetidamente al cuadrado. Esto permite que el test tenga un tiempo de ejecución polinómico, es decir, en principio se trata de un algoritmo rápido. Sin embargo, los números de Fermat crecen tan rápidamente que sólo se pueden evaluar unos pocos en un intervalo de tiempo razonable.

También pueden emplearse otras bases en lugar de 3, por ejemplo, 5, 6, 7 ó 10 (A129802).

Demostración de que el test funciona[editar]

Para la demostración en un sentido, se parte de la congruencia

3^{(F_n-1)/2}\equiv-1\pmod{F_n}.

Entonces, 3^{F_n-1}\equiv1\pmod{F_n}, por tanto, el orden multiplicativo de 3 módulo F_n divide a F_n-1=2^{2^n}, que es una potencia de dos. Por otra parte, el orden no divide a (F_n-1)/2, por lo que debe ser igual a F_n-1. En particular, existen al menos F_n-1 números menores que F_n que son coprimos con F_n, y esto sólo puede ocurrir si F_n es primo.

Para el otro sentido, supóngase que F_n es primo. Por el criterio de Euler,

3^{(F_n-1)/2}\equiv\left(\frac3{F_n}\right)\pmod{F_n},

donde \left(\frac3{F_n}\right) es el símbolo de Legendre. Elevándolo al cuadrado repetidas veces, encontramos que 2^{2^n}\equiv1\pmod3, por tanto, F_n\equiv2\pmod3, y \left(\frac{F_n}3\right)=-1. Como F_n\equiv1\pmod4, concluimos que \left(\frac3{F_n}\right)=-1 debido a la ley de reciprocidad cuadrática.

Referencias[editar]

  • P. Pépin, Sur la formule 2^{2^n}+1, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris 85 (1877), pp. 329–333.

Enlaces externos[editar]