Teoremas de isomorfismo

Los teoremas de isomorfía, o más propiamente, teoremas de isomorfía de Noether, son tres resultados importantes de la teoría de grupos. Estos teoremas relacionan a los grupos con sus grupos cociente, y son de gran utilidad para construir isomorfismos entre diversos grupos y grupos cociente.

Pocos cambios no esenciales hacen a estos teoremas válidos también en términos de anillos y módulos en lugar de grupos.

Primer teorema de isomorfía

Sea $f:G\longrightarrow H$ un homomorfismo de grupos. Entonces existe un isomorfismo ${\bar {f}}:G/(\ker f)\longrightarrow \mathrm {im} \ f$, y por tanto

$G/(\ker f)\cong \mathrm {im} \ f.$

La construcción del isomorfismo cuya existencia afirma el primer teorema de isomorfía se puede expresar mediante el diagrama conmutativo siguiente:

donde $\pi :G\longrightarrow G/\ker f$ es la proyección canónica de $G$ en $G/\ker f$.

El primer teorema de isomorfía de Noether es una consecuencia inmediata del teorema fundamental de homomorfismos.

Ejemplos

• Considérese el epimorfismo natural $f:(\mathbb {Z} ,+)\longrightarrow (\mathbb {Z} _{n},+)$ dado por

$f(i)=[i]_{n}.\,\!$

Es claro que $f(i)=[0]_{n}\,\!$ si y sólo si $n\mid i$, luego $\ker f=n\mathbb {Z}$, así que

$(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+)\cong (\mathbb {Z} _{n},+).$

• Si $A_{n}$ es el subgrupo alternante del grupo simétrico $S_{n}$, entonces

$S_{n}/A_{n}\cong \left(\{-1,1\},\cdot \right).$

Segundo teorema de isomorfía

Si $N$ y $H$ son subgrupos de un grupo $G$, con $N$ normal en $G$, entonces

$H/(H\cap N)\cong (HN)/N.$

Este segundo teorema de isomorfía se deduce del primero, pues si $N$ es normal a G entonces también lo es $H\cap N$ en $H$, y puede demostrarse que el epimorfismo

${\begin{array}{rcl}\varphi :H&\longrightarrow &(HN)/N\\h&\mapsto &HN\end{array}}$

cumple con $\ker \varphi =H\cap N$. Si $\pi :HN\longrightarrow HN/N$ y $\rho :H\longrightarrow H/(H\cap N)$ son proyecciones canónicas, entonces la construcción del isomorfismo $\psi :H/(H\cap N)\longrightarrow NH/N$ se describe por el diagrama conmutativo siguiente:

Tercer teorema de isomorfía

Si $N$ y $H$ son subgrupos normales de un grupo $G$, con $N\subseteq H$, entonces

$G/H\cong (G/N)/(H/N).$

Esto da lugar al diagrama conmutativo siguiente

donde $\varphi _{1},\varphi _{2}$ son proyecciones canónicas, ${\mbox{id}}\,\!$ es la aplicación identidad y donde las flechas horizontales forman una sucesión de homomorfismos exacta.

Este teorema es también consecuencia del primer teorema de isomorfía. Para una demostración de este teorema, así como de los dos primeros teoremas de isomorfía, véase, por ejemplo, el wikilibro de Álgebra, Subgrupos normales