Teorema del binomio

En matemática, el teorema del binomio es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia n-ésima de n (siendo n, entero positivo) de un binomio. De acuerdo con el teorema, es posible expandir la potencia (x + y)ⁿ en una suma que implica términos de la forma ax^by^c, donde los exponentes b y c son números naturales con b + c = n, y el coeficiente a de cada término es un número entero positivo que depende de n y b. Cuando un exponente es cero, la correspondiente potencia es usualmente omitida del término. Por ejemplo,

(x+y)^{4}\;=\;x^{4}\,+\,4x^{3}y\,+\,6x^{2}y^{2}\,+\,4xy^{3}\,+\,y^{4}.

El coeficiente a en los términos de x^by^c - x^cy^b es conocido como el coeficiente binomial ${\tbinom {n}{b}}$ o ${\tbinom {n}{c}}$ (los dos tienen el mismo valor).

Formulación del teorema

Este teorema establece: Usando la fórmula para calcular el valor de ${n \choose k}$ (que también es representado ocasionalmente como $C(n,k)\,$ o $C_{k}^{n}$ ) se obtiene la siguiente representación:

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}x^{n-k}y^{k}$

El coeficiente de $x^{n-k}y^{k}\,$ en el desarrollo de $(x+y)^{n}\,$ es ${n \choose k}$

donde ${n \choose k}$ recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}={n \choose 0}x^{n}+{n \choose 1}x^{n-1}y+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}xy^{n-1}+{n \choose n}y^{n}$

Ejemplo

Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4, utilizando los coeficientes del triángulo de Pascal:

(2) ${\begin{cases}(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\\(x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\\(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}\end{cases}}$

Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en los términos con potencias impares de y. La expresión (2) queda de la siguiente forma:

(x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}\,

Teorema generalizado del binomio (Newton)

Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:

(3) ${(x+y)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{r-k}y^{k}}$

Donde r puede ser cualquier número real (en particular, r puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:

{r \choose k}={1 \over k!}\prod _{n=0}^{k-1}(r-n)={\frac {r(r-1)(r-2)\cdots (r-k+1)}{k!}}

(el k = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los otros factores (r − 1), etc., no aparecen en ese caso).

Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:

{\frac {1}{(1-x)^{r}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{r+k-1 \choose r-1}x^{k}

La suma en (3) converge y la igualdad es verdadera siempre que los números reales o complejos x e y sean suficientemente cercanos, en el sentido de que el valor absoluto | x/y | sea menor que uno.

Coeficiente binomial

Para aplicar el Teorema del binomio, el coeficiente binomial se presenta como ${\alpha \choose k}$ de forma sencilla:

{\alpha  \choose k}:={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}}.

Historia

Atribuido a Newton, el teorema fue en realidad descubierto por primera vez por Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn al-Karaji alrededor del año 1000. Aplicando los métodos de John Wallis de interpolación y extrapolación a nuevos problemas, Newton utilizó los conceptos de exponentes generalizados mediante los cuales una expresión polinómica se transformaba en una serie infinita. Así estuvo en condiciones de demostrar que un gran número de series ya existentes eran casos particulares, bien diferenciación, bien por integración.

El descubrimiento de la serie binómica es un resultado importante de por sí; sin embargo, a partir de este descubrimiento Newton tuvo la intuición de que se podía operar con series infinitas del mismo modo que con expresiones polinómicas finitas.

Newton nunca publicó este teorema . Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 en su Álgebra, atribuyendo a Newton este descubrimiento.

El teorema binómico para n=2 se encuentra en los Elementos de Euclides (300 a. C.), asimismo el término «coeficiente binomial» fue introducido por Michel Stifer en el siglo XVI.

Los binomios se resuelven también con expresiones algebraicas.

Véase también

Referencias

Bag, Amulya Kumar (1966). «Binomial theorem in ancient India». Indian J. History Sci 1 (1): 68-74.
Barth, Nils R. (noviembre de 2004). «Computing Cavalieri's Quadrature Formula by a Symmetry of the n-Cube». The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 111 (9): 811-813. ISSN 0002-9890. JSTOR 4145193. doi:10.2307/4145193, author's copy, further remarks and resources
Graham, Ronald; Donald Knuth, Oren Patashnik (1994). «(5) Binomial Coefficients». Concrete Mathematics (2 edición). Addison Wesley. p. 153–256. ISBN 0-201-55802-5. OCLC 17649857.
Solomentsev, E.D. (2001), "Newton binomial", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
«Isaac Newton - Teorema del binomio».

Enlaces externos

Stephen Wolfram. «Teorema del binomio (paso a paso)». The Wolfram Demonstrations Project (en inglés). Wolfram Research.
Bruce Colletti. «Teorema del binomio». The Wolfram Demonstrations Project (en inglés). Wolfram Research.