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Teorema de los tres cuadrados de Legendre

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En matemáticas, el teorema de los tres cuadrados de Legendre establece que un número natural se puede representar como la suma de tres cuadrados de números enteros, es decir, de la forma

si y sólo si no es de la forma para enteros no negativos y .

Las distancias entre los vértices de un cubo unitario doble son raíces cuadradas de los primeros seis números naturales debido al teorema de Pitágoras (√7 no es posible debido al teorema de los tres cuadrados de Legendre).

Los primeros números que no se pueden expresar como la suma de tres cuadrados (es decir, números que se pueden expresar como ) son: 7, 15, 23, 28, 31, 39, 47, 55, 60, 63, 71... (sucesión A004215 en OEIS)

a b 0 1 2
0 7 28 112
1 15 60 240
2 23 92 368
3 31 124 496
4 39 156 624
5 47 188 752
6 55 220 880
7 63 252 1008
8 71 284 1136
9 79 316 1264
10 87 348 1392
11 95 380 1520
12 103 412 1648
Unexpressible values

up to 100 are in bold

Historia[editar]

Pierre de Fermat afirmó que los números de la forma 8 a + 1 y 8a + 3 son sumas de un cuadrado más el doble de otro cuadrado, pero no proporcionó una prueba.[1]​ N. Beguelin observó en 1774[2]​ que todo número entero positivo que no tenga la forma 8 n + 7, ni la forma 4n, es la suma de tres cuadrados, pero tampoco proporcionó una prueba satisfactoria.[3]​ En 1796, Gauss demostró su teorema de Eureka de que todo entero positivo n es la suma de 3 números triangulares ; esto es equivalente al hecho de que 8 n + 3 es la suma de tres cuadrados. En 1797 o 1798 Legendre obtuvo la primera demostración de su teorema de los 3 cuadrados.[4]​ En 1813, Cauchy señaló[5]​ que el teorema de Legendre es equivalente a la afirmación de la introducción anterior. Anteriormente, en 1801, Gauss había obtenido un resultado más general,[6]​ que contenía como corolario el teorema de Legendre de 1797-8. En particular, Gauss contó el número de soluciones de la expresión de un número entero como la suma de tres cuadrados, lo que es una generalización del resultado de Legendre,[7]​ cuya demostración era incompleta. Este último hecho parece ser la razón de afirmaciones incorrectas posteriores que decían que la demostración del teorema de los tres cuadrados de Legendre era defectuosa y que tuvo que ser completada por Gauss.[8]

Con el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange y el teorema de los dos cuadrados de Girard, Fermat y Euler, el problema de Waring para está completamente resuelto.

Demostraciones[editar]

La parte del "sólo si" del teorema es sencilla, ya que cualquier cuadrado módulo 8 es congruente con 0, 1 o 4 y, al hacer la suma de tres de ellos no podemos obtener un número de la forma

Del recíproco hay varias demostraciones (además de la de Legendre). Una de ellas fue publicada en 1850 por Dirichlet, y se ha convertido en clásico.[9]​ Requiere tres lemas principales:

Relación con el teorema de los cuatro cuadrados[editar]

Este teorema se puede utilizar para demostrar el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange, que establece que todos los números naturales se pueden escribir como una suma de cuatro cuadrados. Gauss[10]​ señaló que el teorema de los cuatro cuadrados se deriva fácilmente del hecho de que cualquier entero positivo que sea 1 o 2 módulo 4 es una suma de 3 cuadrados, porque cualquier entero positivo no divisible por 4 se puede reducir a esta forma restando 0 o 1 de él. Sin embargo, demostrar el teorema de los tres cuadrados es considerablemente más difícil que una demostración directa del teorema de los cuatro cuadrados sin utilizar el teorema de los tres cuadrados como lema. De hecho, el teorema de los cuatro cuadrados fue demostrado antes, en 1770.

Véase también[editar]

Notas[editar]

  1. «Fermat to Pascal». 25 de septiembre de 1654. Archivado desde el original el 5 de julio de 2017. 
  2. Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin (1774, publ. 1776), pp. 313–369.
  3. Leonard Eugene Dickson, History of the theory of numbers, vol. II, p. 15 (Carnegie Institute of Washington 1919; AMS Chelsea Publ., 1992, reprint).
  4. A.-M. Legendre, Essai sur la théorie des nombres, Paris, An VI (1797–1798), p. 202 and pp. 398–399.
  5. A. L. Cauchy, Mém. Sci. Math. Phys. de l'Institut de France, (1) 14 (1813–1815), 177.
  6. C. F. Gauss, Disquisitiones Arithmeticae, Art. 291 et 292.
  7. A.-M. Legendre, Hist. et Mém. Acad. Roy. Sci. Paris, 1785, pp. 514–515.
  8. See for instance: Elena Deza and M. Deza. Figurate numbers. World Scientific 2011, p. 314
  9. See for instance vol. I, parts I, II and III of : E. Landau, Vorlesungen über Zahlentheorie, New York, Chelsea, 1927. Second edition translated into English by Jacob E. Goodman, Providence RH, Chelsea, 1958.
  10. Gauss, Carl Friedrich (1965), Disquisitiones Arithmeticae, Yale University Press, p. 342, section 293, ISBN 0-300-09473-6 .