Teorema de los cuatro cuadrados

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El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange, también conocido como la conjetura de Bachet se demostró en 1770 por Joseph Louis Lagrange.

Dice que cada número entero positivo puede expresarse como la suma de cuatro cuadrados de enteros. Por ejemplo,

31 = 5 2 + 2 2 + 1 2 + 1 2
310 = 17 2 + 4 2 + 2 2 + 1 2

Más formalmente, para cada entero positivo n, existen números enteros no negativos a, b, c, d tales que:

n = a2 + b2 + c2 + d2

Adrien-Marie Legendre mejoró el teorema en 1798 demostrando que un entero positivo puede expresarse como la suma de tres cuadrados si y sólo si no es de la forma 4 k (8 m + 7). Su prueba estaba incompleta, dejando un hueco que después llenó Carl Friedrich Gauss.

En 1834, Carl Gustav Jakob Jacobi encontró la fórmula exacta para el número total de maneras en que un número entero positivo n dado puede representarse como la suma de cuatro cuadrados. Este número es ocho veces la suma de los divisores de n si n es impar y 24 veces la suma de los divisores impares de n si n es par.

El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange es un caso especial del teorema del número poligonal de Fermat y del problema de Waring.

Evolución histórica[editar]

A partir de ejemplos proporcionados por Arithmetica es evidente que Diofanto de Alejandría era consciente de dicho teorema. Este libro fue traducido en 1621 al Latín por Claude Gaspard Bachet de Méziriac quien declaró el teorema en las notas de su traducción. Pero el teorema no fue demostrado hasta 1770 por Lagrange.

Adrien-Marie Legendre completó el teorema en 1797 con su Teorema de los tres cuadrados, demostrando que un entero positivo puede ser expresado como la suma de tres cuadrados de enteros si y sólo si no es de la forma para los números enteros y . Más tarde, en 1834 Carl Gustav Jakob Jacobi descubrió una fórmula sencilla para el número de representaciones de un entero como la suma de los cuatro cuadrados con su propio Teorema de los cuatro cuadrados.

Además, la fórmula está ligada al Teorema de los círculos de Descartes, lo cual implica la suma de los cuadrados de las curvas de cuatro círculos. Esto también está relacionado con el Tamiz de Apolonio que más recientemente se relacionó con la Conjetura de Ramanujan–Petersson.

La prueba clásica[editar]

Existen varias versiones modernas muy similares de la prueba de que Lagrange. La siguiente prueba es una versión ligeramente simplificada, en el que los casos en los que m es par o impar no requieren argumentos distintos.

Es suficiente con demostrar el teorema para cada número primo impar p. Esto inmediatamente se deduce de la Identidad de los cuatro cuadrados de Euler (y del hecho de que el teorema se cumple para los números 1 y 2).

Los restos de a2 modulo p son distintos para todo a entre 0 y (inclusivo). Para ver esto, toma algún a y define c como a2 modulo p. a es una raíz delo polinomio x2 − c sobre el espacio . También lo es p-a (que es distinto de a). En el espacio K cualquier polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces distintas (Teorema de Lagrange (teoría de números)), por lo que no hay ningún otro a con esta propiedad, en particular no entre 0 y .

Del mismo modo, para b que toma valores integrales entre 0 y (inclusivo), los son distintos. Por el Principio del palomar, hay un a y un b en este intervalo para los cuales a2 y son congruentes módulo p, que es por lo que

Ahora dejemos que m sea el entero positivo más pequeño de modo que mp es la suma de cuatro cuadrados, x12 + x22 + x32 + x42 (acabamos de demostrar que hay algún m (concretamente, n) con esta propiedad, por lo tanto hay al menos un m, que es más pequeño que p). Demostramos por contradicción que m es igual a 1: suponiendo que no sea el caso, probamos la existencia de un número entero positivo r menor que m, para el cual rp es además la suma de cuatro cuadrados (esto está basado en el método del Descenso infinito de Fermat).

Para este fin, consideramos para cada xi


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