Teorema de la bisectriz

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En este diagrama, siendo A el ángulo bisecado, BA:AC = BD:DC

El teorema de la bisectriz del ángulo interno de un triángulo es un teorema de la geometría elemental la cual es una consecuencia o corolario del Teorema de Tales.

En un triángulo, la razón entre dos lados es igual a la razón de las partes en las que queda dividido el tercer lado por la bisectriz de ángulo interno opuesto.

O lo que es equivalente:

Dado el triángulo ABC, sea AD la bisectriz del ángulo interno A, entonces se cumple la proporción:

Demostración 1[editar]

Figura bz1 Demostración del teorema de la bisectriz aplicando la «Ley de senos».

Nomenclatura (correspondiente a la Figura bz1):

Aplicando el teorema del seno al triángulo tenemos:

(bz01)

Los ángulos “y” y “π-y” son suplementarios, lo cual implica que , entonces aplicando ahora el teorema del seno al triángulo tenemos:

(bz02)

Dividiendo m.a.m. la ecuación (bz01) por la ecuación (bz02) y simplificando obtenemos: , ∎.[1]

Demostración 2[editar]

Dibujando desde C una línea paralela a la recta AD hasta encontrar la prolongación de lado BA a partir del lado A y encontrándose en el punto E. El triángulo ACE es isósceles porque sus ángulos C y E son congruentes:

porque los dos ángulos son alternos internos respecto a las rectas paralelas AD y EC cortadas por la recta transversal AC

porque son correspondientes a las rectas paralelas AD y EC a las cuales corta la recta BE, además

porque los ángulos creados por la bisectriz son iguales.

Por la propiedad transitiva de la igualdad se tiene que

Por tanto los segmentos AC y AE son congruentes. Por el Teorema de Thales se mantiene la proporción:

y ya que AC y AE son congruentes, también se cumple que

Demostración 3[editar]

El triángulo y el triángulo comparten altura h, y si (ABD) y (ACD) representan sus respectivas áreas, se cumple que:

Sean F y G los pies de altura de los triángulos ABD y ACD en AB y AC respectivamente. EL ángulo BAD es congruente con el ángulo CAD, por ser AD bisectriz.

Los ángulos AFD y AGD son iguales a π/2 rad (90°) y congruentes entre sí, por ser los pies de las alturas.

Por lo tanto, los ángulos ADF y ADG son congruentes. Entonces el triángulo y el triángulo son congruentes, por el criterio ángulo–lago–ángulo (ALA), pues además comparten el lado AD.

Con lo que se obtiene que:

Pero DF y DG son las alturas de los triángulos y respectivamente. Por lo tanto la razón entre sus áreas es igual a la razón entre sus bases:

Por transitividad con lo establecido anteriormente, se tiene que:

Demostración 4[editar]

Sean los ángulos:

Entonces:

Considerando el triángulo ABD, por el Teorema del seno se obtiene que:

Considerando el triángulo ACD se obtiene que:

Pero se conoce la siguiente identidad:

Entonces la ecuación queda:

Dividiendo las dos igualdades se obtiene:

Simplificando:

Notas y referencias[editar]

  1. Unicode indica que el cuadrado relleno (∎), como símbolo matemático, significa ‘fin de la prueba’ (en inglés ‘end of proof’) o también QED (Quod erat demonstrandum).

Enlaces externos[editar]