Teorema de Green

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En física y matemáticas, el teorema de Green da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple y una integral doble sobre la región plana limitada por . El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green, y resulta ser un caso especial del más general teorema de Stokes.

Teorema[editar]

Sean una región simple cuya frontera es una curva suave a trozos orientada en sentido positivo, si es un campo vectorial con derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a entonces

donde .

Demostración cuando es una región simple[editar]

Si es una región simple con su límite consistente en las curvas , , , , la mitad del teorema de Green puede ser demostrada.

Lo siguiente es una demostración de la mitad del teorema para la región , se demostrará cuando es una región tipo I donde y son curvas conectadas por líneas verticales (posiblemente de longitud cero). Una demostración similar existe para la otra parte del teorema cuando se considera a como una región tipo II donde y son curvas conectadas por curvas horizontalmente (y otra vez, posiblemente de longitud cero). Considerando estas dos partes, uno demuestra el teorema para una región de tipo III (definida como una región que es tanto de tipo I como de tipo II).

Puede demostrarse que si

y

son ciertas entonces el teorema de Green queda demostrado para la región . Podemos probar la primera igualdad para regiones de tipo I y la segunda para regiones de tipo II con lo que el teorema de Green es válido para regiones de tipo III.

Si suponemos que es una región de tipo I entonces queda descrita como

donde y son funciones continuas en . Calculando la integral doble de la primera igualdad tenemos

Ahora calculemos la integral de línea para la primera igualdad. puede ser escrito como la unión de las cuatro regiones , , y .

Para utilicemos las siguientes ecuaciones paramétricas y con entonces

Para utilicemos las siguientes ecuaciones paramétricas y con entonces

La integral sobre es negativa pues va de a . En y , es constante por lo que

Por lo que

De manera análoga se puede demostrar la segunda igualdad, combinando estos dos resultados, habremos demostrado el resultado para regiones de tipo III.

Ejemplo[editar]

Podemos utilizar el teorema de Green para evaluar la integral de línea

donde es la trayectoria orientada en sentido antihorario desde hasta a lo largo de la gráfica de desde hasta a lo largo de la gráfica de .

Como y entonces

Aplicando el teorema de Green

Para este ejemplo, el teorema de Green se utilizó para ahorrar tiempo pues evaluar la integral de línea en este caso es algo laborioso. Es importante notar que en este caso, es aplicable el teorema de Green pues satisface las hipótesis.

Relación con el teorema de Stokes[editar]

El teorema de Green es un caso especial en del teorema de Stokes. El teorema enuncia

Sean una región simplemente conexa, su frontera orientada en sentido positivo y un campo vectorial con derivadas parciales continuas sobre entonces

Podemos aumentar el campo vectorial de dos dimensiones a uno de tres dimensiones donde la componente es constantemente . Escribiremos como una función vectorial . Empezaremos con el lado izquierdo del teorema de Green:

Aplicando el teorema de Kelvin-Stokes

La superficie es simplemente la región en el plano , con el vector normal unitario apuntando (en la dirección positiva de ) de tal manera que coincida con las definiciones de "orientación positiva" para ambos teoremas (Green y Stokes). Se verifica .

La expresión dentro de la integral queda

De esta manera se obtiene el lado derecho del teorema de Green:

luego

Relación con el teorema de la divergencia o de Gauss[editar]

El teorema de Green es un caso especial en del teorema de Gauss pues

donde es un vector normal en la frontera.

Para ver esto, considere la unidad normal en la parte derecha de la ecuación. Como es un vector apuntando tangencialmente a través de una curva, y la curva está orientada positivamente, es decir, en sentido antihorario a través de la frontera, un vector normal saliente sería aquel que apunta en 90º hacia la derecha, el cual podría ser . El módulo de este vector es . Por lo tanto .

Tomando los componentes de , el lado derecho se convierte en

que por medio del teorema de la divergencia resulta

Área de una región con el Teorema de Green[editar]

Si es una curva cerrada simple que acota una región simplemente conexa entonces el área de la región , que denotaremos por , acotada por está dada por

Ejemplo[editar]

Demostremos que el área de una elipse con semi ejes es .

La ecuación de una elipse es

que puede ser escrita como

Al hacer

Obtenemos que una parametrización de la frontera de la elipse, es decir, de es

Entonces

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]