Teorema de Green

En física y matemáticas, el teorema de Green da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple $C$ y una integral doble sobre la región plana $D$ limitada por $C$. El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green, y resulta ser un caso especial del más general teorema de Stokes.

Teorema

El teorema enuncia:

Sean $D\subset \mathbb {R} ^{2}$ una región simple cuya frontera es una curva $C$ suave a trozos orientada en sentido positivo, si $\mathbf {F} =(M,N):D\subset \rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ es un campo vectorial con derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a $D$ entonces

$\oint _{\partial D}Mdx+Ndy=\iint _{D}\left({\frac {\partial N}{\partial x}}-{\frac {\partial M}{\partial y}}\right)dA$

donde $C=\partial D$.

Relación con el teorema de Stokes

Si D es una región simple con su límite consistente en las curvas C₁, C₂, C₃, C₄, la mitad del teorema de Green puede ser demostrada.

El teorema de Green es un caso especial en $\mathbb {R} ^{2}$ del teorema de Kelvin-Stokes. El teorema enuncia

Sean $D\subset \mathbb {R} ^{2}$ una región simplemente conexa, $\partial D$ su frontera orientada en sentido positivo y $\mathbf {F} =(M,N):D\subset \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ un campo vectorial con derivadas parciales continuas sobre $D$ entonces

$\oint _{\partial D}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{D}\left(\nabla \times \mathbf {F} \right)\cdot \mathbf {k} \;dA$

Podemos aumentar el campo vectorial de dos dimensiones a uno de tres dimensiones donde la componente $z$ es constantemente $0$. Escribiremos $\mathbf {F}$ como una función vectorial $\mathbf {F} =(M,N,0)$. Empezaremos con el lado izquierdo del teorema de Green:

$\oint _{\partial D}M\;dx+N\;dy=\oint _{\partial D}(M,N,0)\cdot (dx,dy,dz)=\oint _{\partial D}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}$

Aplicando el teorema de Kelvin-Stokes

$\oint _{\partial D}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{S}\left(\nabla \times \mathbf {F} \right)\cdot \mathbf {\hat {n}} \;dA$

La superficie $S$ es simplemente la región en el plano $D$, con el vector normal unitario $\mathbf {\hat {n}}$ apuntando (en la dirección positiva de $z$) de tal manera que coincida con las definiciones de "orientación positiva" para ambos teoremas (Green y Stokes). Se verifica $\mathbf {\hat {n}} =\mathbf {k}$.

La expresión dentro de la integral queda

${\begin{aligned}\left(\nabla \times \mathbf {F} \right)\cdot \mathbf {k} &=\left[\left({\frac {\partial 0}{\partial y}}-{\frac {\partial N}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial M}{\partial z}}-{\frac {\partial 0}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial N}{\partial x}}-{\frac {\partial M}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \right]\cdot \mathbf {k} \\&=\left({\frac {\partial N}{\partial x}}-{\frac {\partial M}{\partial y}}\right)\\\end{aligned}}$

De esta manera se obtiene el lado derecho del teorema de Green:

$\iint _{S}\left(\nabla \times \mathbf {F} \right)\cdot \mathbf {k} \;dA=\iint _{D}\left({\frac {\partial N}{\partial x}}-{\frac {\partial M}{\partial y}}\right)dA$

luego

$\oint _{\partial D}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{D}\left(\nabla \times \mathbf {F} \right)\cdot \mathbf {k} \;dA$

Relación con el teorema de la divergencia o de Gauss

El teorema de Green es un caso especial en $\mathbb {R} ^{2}$ del teorema de Gauss pues

$\oint _{\partial D}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \;ds=\iint _{D}\nabla \cdot \mathbf {F} \;dA$

donde $\mathbf {n}$ es un vector normal en la frontera.

Para ver esto, considere la unidad normal en la parte derecha de la ecuación. Como $d\mathbf {r} =(dx,dy)$ es un vector apuntando tangencialmente a través de una curva, y la curva $C$ está orientada positivamente, es decir, en sentido antihorario a través de la frontera, un vector normal saliente sería aquel que apunta en 90º hacia la derecha, el cual podría ser $(dy,-dx)$. El módulo de este vector es ${\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=d\mathbb {r}$. Por lo tanto $\mathbf {\hat {n}} {\mbox{ }}d\mathbf {r} =(dy,-dx)$.

Tomando los componentes de $\mathbf {F} =(N,-M)$, el lado derecho se convierte en

${\begin{aligned}\int _{\partial D}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;ds&=\int _{\partial D}(N,-M)\cdot (dy,-dx)\\&=\int _{\partial D}Ndy+Mdx\end{aligned}}$

que por medio del teorema de la divergencia resulta

${\begin{aligned}\int _{\partial D}Mdx+Ndy&=\iint _{D}\nabla \cdot \mathbf {F} \;dA\\&=\iint _{D}\nabla \cdot (N,-M)\;dA\\&=\iint _{D}\left({\frac {\partial N}{\partial x}}-{\frac {\partial M}{\partial y}}\right)\,dA\end{aligned}}$

Área de una región con el Teorema de Green

Si $C$ es una curva cerrada simple que acota una región simplemente conexa entonces el área de la región $D$, que denotaremos por $A(D)$, acotada por $C=\partial D$ está dada por

$A(D)={\frac {1}{2}}\int _{\partial D}xdy-ydx$

Ejemplo

Demostremos que el área de una elipse con semi ejes $a,b>0$ es $ab\pi$.

La ecuación de una elipse es

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

que puede ser escrita como

$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1$

Al hacer

${\begin{aligned}x&=a\cos t\\y&=b\operatorname {sen} t\end{aligned}}$

Obtenemos que una parametrización de la frontera de la elipse, es decir, de $\partial D$ es

${\begin{aligned}\mathbf {r} (t)&=(a\cos t,b\operatorname {sen} t)\qquad 0\leq t\leq 2\pi \\\mathbf {r} '(t)&=(-a\operatorname {sen} t,b\cos t)\end{aligned}}$

Entonces

${\begin{aligned}A(D)&={\frac {1}{2}}\int _{\partial D}xdy-ydx\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }\left[ab\cos ^{2}(t)+ab\operatorname {sen} ^{2}(t)\right]dt\\&={\frac {ab}{2}}\int _{0}^{2\pi }\left[\cos ^{2}(t)+\operatorname {sen} ^{2}(t)\right]dt\\&={\frac {ab}{2}}\int _{0}^{2\pi }dt\\&=\left({\frac {ab}{2}}\right)2\pi \\&=ab\pi \end{aligned}}$

Véase también

• Integral de línea
• Teorema de Stokes
• Teorema de Gauss

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Teorema de Green». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Una demostración en flash del Teorema de Green (en inglés)

• Datos: Q321237
• Multimedia: Green's theorem