Teorema de Green

En física y matemáticas, el teorema de Green da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D limitada por C. El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green, y resulta ser un caso especial del más general teorema de Stokes. El teorema afirma:

Sea C una curva cerrada simple positivamente orientada, diferenciable por trozos, en el plano y sea D la región limitada por C. Si P y Q tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene D,

$\int _{C^{+}}(P\,dx+Q\,dy)=\int \!\!\!\int _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dA$

A veces la notación

$\oint _{C^{+}}(P\,dx+Q\,dy)$

se utiliza para establecer que la integral de línea está calculada usando la orientación positiva (antihoraria) de la curva cerrada C.

Relación con el teorema de Stokes

Si D es una región simple con su límite consistente en las curvas C₁, C₂, C₃, C₄, la mitad del teorema de Green puede ser demostrada.

El teorema de Green es un caso especial del clásico teorema de Kelvin-Stokes cuando es aplicado a una región en el plano-xy.

Podemos aumentar el campo vectorial de dos dimensiones a uno de tres dimensiones donde la componente z es constantemente 0. Escribiremos F como una función vectorial $\mathbf {F} =(P,Q,0)$. Empezaremos con el lado izquierdo del teorema de Green:

$\oint _{C}(P\,dx+Q\,dy)=\oint _{C}(P,Q,0)\cdot (dx,dy,dz)=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} .$

Aplicando el teorema de Kelvin-Stokes:

$\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS.$

La superficie $S$ es simplemente la región en el plano $D$, con el vector normal unitario $\mathbf {\hat {n}}$ apuntando (en la dirección positiva de z) de tal manera que coincida con las definiciones de "orientación positiva" para ambos teoremas (Green y Stokes). Se verifica $\mathbf {\hat {n}} =\mathbf {k}$.

La expresión dentro de la integral queda

$\nabla \ \times \ \mathbf {F} \ \cdot \ \mathbf {\hat {n}} =\left[\left({\frac {\partial 0}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial 0}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \right]\cdot \mathbf {k} =\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right).$

De esta manera se obtiene el lado derecho del teorema de Green:

$\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS=\iint _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dA.$

Relación con el teorema de la divergencia o de Gauss Ostrogradski

El teorema de Green es equivalente a la siguiente analogía bidimensional del teorema de Stokes:

$\iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dA=\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} {\mbox{ }}ds,$ donde $\mathbf {\hat {n}}$ es el vector normal saliente en la frontera.

Para ver esto, considere la unidad normal en la parte derecha de la ecuación. Como $d\mathbf {s} =(dx,dy)$ es un vector apuntando tangencialmente a través de una curva, y la curva C está orientada de manera positiva (es decir, en contra del sentido de las agujas del reloj) a través de la frontera, un vector normal saliente sería aquel que apunta en 90º hacia la derecha, el cual podría ser $(dy,-dx)$. El módulo de este vector es ${\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=ds$. Por lo tanto $\mathbf {\hat {n}} {\mbox{ }}ds=(dy,-dx)$.

Tomando los componentes de $\mathbf {F} =(Q,-P)$, el lado derecho se convierte en

$\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} {\mbox{ }}ds{\mbox{ }}=\int _{C}(Q,-P)\cdot (dy,-dx)=\int _{C}(Q{\mbox{ }}dy+P{\mbox{ }}dx)$

que por medio del teorema de Green resulta:

$\int _{C}(P{\mbox{ }}dx{\mbox{ }}+{\mbox{ }}Q{\mbox{ }}dy)=\iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dA=\iint _{D}\left(\nabla \cdot (Q,-P)\right)dA=\iint _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dA$

Véase también

• Teorema de Stokes
• Teorema de la divergencia
• Planímetro

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Teorema de Green». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Una demostración en flash del Teorema de Green (en inglés)

Libros recomendados

Cálculo multivariable [cuarta edición] autor:James Stewart