Teorema de Green

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En física y matemáticas, el teorema de Green da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple y una integral doble sobre la región plana limitada por . El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green, y resulta ser un caso especial del más general teorema de Stokes. El teorema afirma:

Sean una región simple cuya frontera es una curva suave a trozos orientada en sentido positivo, si es un campo vectorial con derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a entonces

donde .

Relación con el teorema de Stokes[editar]

Si D es una región simple con su límite consistente en las curvas C1, C2, C3, C4, la mitad del teorema de Green puede ser demostrada.

El teorema de Green es un caso especial en del teorema de Kelvin-Stokes. El teorema enuncia

Sean una región simplemente conexa, su frontera orientada en sentido positivo y un campo vectorial con derivadas parciales continuas sobre entonces

Podemos aumentar el campo vectorial de dos dimensiones a uno de tres dimensiones donde la componente es constantemente . Escribiremos como una función vectorial . Empezaremos con el lado izquierdo del teorema de Green:

Aplicando el teorema de Kelvin-Stokes

La superficie es simplemente la región en el plano , con el vector normal unitario apuntando (en la dirección positiva de ) de tal manera que coincida con las definiciones de "orientación positiva" para ambos teoremas (Green y Stokes). Se verifica .

La expresión dentro de la integral queda

De esta manera se obtiene el lado derecho del teorema de Green:

luego

Relación con el teorema de la divergencia o de Gauss[editar]

El teorema de Green es un caso especial en del teorema de Gauss

donde es el vector normal saliente en la frontera.

Para ver esto, considere la unidad normal en la parte derecha de la ecuación. Como es un vector apuntando tangencialmente a través de una curva, y la curva está orientada positivamente, es decir, en sentido antihorario a través de la frontera, un vector normal saliente sería aquel que apunta en 90º hacia la derecha, el cual podría ser . El módulo de este vector es . Por lo tanto .

Tomando los componentes de , el lado derecho se convierte en

que por medio del teorema de la divergencia resulta

Área de una región con el Teorema de Green[editar]

Si es una curva cerrada simple que acota una región simplemente conexa entonces el área de la región , que denotaremos por , acotada por está dada por

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]