Teorema de Green

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En física y matemáticas, el teorema de Green da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D limitada por C. El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green, y resulta ser un caso especial del más general teorema de Stokes. El teorema afirma:

Sea C una curva cerrada simple positivamente orientada, diferenciable por trozos, en el plano y sea D la región limitada por C. Si P y Q tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene D,

A veces la notación

se utiliza para establecer que la integral de línea está calculada usando la orientación positiva (antihoraria) de la curva cerrada C.

Relación con el teorema de Stokes[editar]

Si D es una región simple con su límite consistente en las curvas C1, C2, C3, C4, la mitad del teorema de Green puede ser demostrada.

El teorema de Green es un caso especial del clásico teorema de Kelvin-Stokes cuando es aplicado a una región en el plano-xy.

Podemos aumentar el campo vectorial de dos dimensiones a uno de tres dimensiones donde la componente z es constantemente 0. Escribiremos F como una función vectorial . Empezaremos con el lado izquierdo del teorema de Green:

Aplicando el teorema de Kelvin-Stokes:

La superficie es simplemente la región en el plano , con el vector normal unitario apuntando (en la dirección positiva de z) de tal manera que coincida con las definiciones de "orientación positiva" para ambos teoremas (Green y Stokes). Se verifica .

La expresión dentro de la integral queda

De esta manera se obtiene el lado derecho del teorema de Green:

Relación con el teorema de la divergencia[editar]

El teorema de Green es equivalente a la siguiente analogía bidimensional del teorema de Stokes:

donde es el vector normal saliente en la frontera.

Para ver esto, considere la unidad normal en la parte derecha de la ecuación. Como es un vector apuntando tangencialmente a través de una curva, y la curva C está orientada de manera positiva (es decir, en contra del sentido de las agujas del reloj) a través de la frontera, un vector normal saliente sería aquel que apunta en 90º hacia la derecha, el cual podría ser . El módulo de este vector es . Por lo tanto .

Tomando los componentes de , el lado derecho se convierte en

que por medio del teorema de Green resulta:

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]

Libros recomendados

Cálculo multivariable [cuarta edición] autor:James Stewart