Tablas de mortalidad

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Las tablas de mortalidad muestran el número de muertes (mortalidad), la edad así como otras informaciones que se producen en un determinado territorio geográfico o localidad. Son el fundamento para conocer la esperanzas de vida, evolución de la población, el grado de madurez demográfica, la repercursión de epidemias y otra información utilizada en demografía, ciencias actuariales, seguros, bioestadística, epidemiología y otras disciplinas. Se considera un importante instrumentos en el ámbito de la demografía.[1][2]

Se considera a John Graunt el primer demógrafo que utilizó los datos de mortalidad existentes en los boletines de mortalidad (bills of mortality) para un uso estadístico, actuarial y demográfico.[3][4][5]

Definición[editar]

Tabla de mortalidad o de vida se puede definir como una tabla de valores numéricos de para ciertos valores de x.

Comúnmente una tabla de mortalidad muestra valores de para todos los valores integrales de , (Cunningham, Herzog, London, 2011). Las tablas de vida son uno de los dispositivos más importantes que se utilizan en la demografía, en su forma clásica, es una tabla que muestra varias piezas de información acerca de la extinción de la cohorte de nacimiento. Es sólo una manera de resumir la experiencia de mortalidad de una cohorte.

Es el modelo más fundamental apoyando la determinación actuarial de los valores económicos asociados con seguros de vida y planes de pensiones. Aunque todas las tablas de vida son básicamente de la misma forma, pueden variar considerablemente con respecto a sus valores numéricos, su aplicabilidad, y los datos de la experiencia sobre la que se basan. (Cunningham et al., 2011)

“Las tablas de vida son, en esencia, una forma de combinar tasas de mortalidad de una población de diferentes edades en un modelo estadístico, que se utilizan principalmente para medir el nivel de mortalidad de la población involucrada.”

(Siegel and Swanson, 2007)

Ejemplo[editar]

X 0 1 2 3 4 109 110
1.00000 .97408 .97259 .97160 .97082 .00001 .00000

Historia[editar]

El concepto de una tabla de vida fue creación de John Graunt (1620-1674), cuando en 1662 en uno de sus trabajos incluyó la primera tabla de mortalidad de la historia, donde la tabla originalmente muestra los números de sobrevivientes a la edad sucesiva de cada 100 concepciones "rápidas" o nacidos vivos. Según sus cifras, sólo el 25 por ciento vivía a los 26 años, y un 1 por ciento a los 76.

La importancia de la tabla de Graunt es el uso del concepto de una tabla utilizando datos de mortalidad para obtener las proporciones que sobreviven a cada edad. Con respecto a las estadísticas de la tabla, ha habido controversia sobre su autenticidad por la forma en que se calcularon las otras filas. (Donald T. Rowland, 2003)

“Los métodos de construcción de tablas de vida requieren un mayor desarrollo, dos décadas después de la muerte de Graunt, Edmund Halley (1656-1742) produjo una aproximación matemática más rigurosa con métodos utilizados en la actualidad. Halley es mejor recordado por su predicción de la vuelta del cometa que lleva su nombre, pero él contribuyó a muchas áreas de científicas. A través de su trabajo la tabla de vida, sobre la base de los proyectos de ley de la mortalidad de la ciudad de Breslau, en Alemania, a Halley se le atribuye, junto con Graunt y Malthus, como uno de los primeros pioneros de la demografía.”

(Donald T. Rowland, 2003)

Usos[editar]

“Una tabla de vida está diseñada esencialmente para medir la mortalidad, pero varios otros especialistas la emplean de diversas formas. Los trabajadores de salud pública, demógrafos, actuarios, economistas y muchos otros utilizan tablas de mortalidad en los estudios de la longevidad, la fertilidad, la migración y el crecimiento de la población, así como en la elaboración de proyecciones de tamaño de la población y las características y en los estudios de viudez, orfandad, longitud de la vida matrimonial, longitud de la vida laboral, y la longitud de vida libre por discapacidad.”

(Siegel and Swanson, 2007)

“Por ejemplo, los ingenieros usan tablas de mortalidad para estudiar la fiabilidad de sistemas mecánicos y electrónicos complejos. Bioestadísticas utilizan tablas de mortalidad para comparar la eficacia de tratamientos alternativas de enfermedades graves. Demógrafos utilizan tablas de mortalidad como herramientas en las proyecciones de población.”

(Bowers et al. 1949)

Aplicación al seguro[editar]

La tabla de mortalidad ha sido uno de los descubrimientos más influyentes de la demografía, examina la cifra de la mortalidad, la medición de la esperanza de vida y el grado en el que la muerte disminuye las cifras de población a medida que aumentan las edades. Es una medida importante de progreso, un indicador válido de las poblaciones para ver si se acercan al objetivo de larga vida para todos, que tiene que ver con la supervivencia y la longitud de la vida. (Cunningham et al., 2011)

“Se utilizan para construir los modelos para sistemas de seguros diseñados para ayudar a los individuos frente a la incertidumbre sobre el tiempo de su muerte”

(Bowers et al. 1949)

Cuántos sobreviven hasta edades sucesivas, es información importante para la industria de seguros de vida, fondos de pensiones y los planes de pensiones, ya que la viabilidad de los acuerdos financieros depende de conocer la probabilidad de que los clientes van a vivir a edades más avanzadas. También se utiliza en el estudio de la supervivencia de las poblaciones de plantas, animales e insectos, tan diversos como hierbas, árboles forestales, ratones y moscas de la fruta.

Tipos de tablas de mortalidad[editar]

Tablas de mortalidad de periodo[editar]

Al construir su tabla de mortalidad, Halley asumió que el tamaño de la población era estático o constante. Aunque se sabe que rara vez las poblaciones son estacionarias, esta suposición ha persistido como base para la construcción de tablas de mortalidad. Las principales razones son porque simplifica el cálculo de información sobre mortalidad y supervivencia, permite comparar tablas de diferentes lugares sin tener que hacer énfasis en las diferencias en la estructura de edad y los resultados son fácilmente interpretados y adecuados en muchos sentidos.

Por población estacionaria, se entiende a una población con 3 características importantes: tamaño constante, estructura de edad constante y cerrada a la migración.

El concepto de población estacionaria es la base para las tablas de mortalidad de periodo, que se derivan de tasas de mortalidad específicas por edad. Estas tablas representan la experiencia de un cohorte hipotético o sintético situado en un año; las tasas de mortalidad específicas por edad representan la experiencia del cohorte. Las tasas de mortalidad del cohorte sintético son la combinación de tasas de diferentes cohortes de nacimientos por año.

Tablas de mortalidad por cohorte[editar]

Las tablas basadas en la mortalidad observada en cohortes reales también son de mucha ayuda. Estas son llamadas “tablas de mortalidad por cohorte, o tablas de mortalidad generacionales, pues describen la mortalidad a través del tiempo de cohortes actuales más que la mortalidad en un solo periodo” (Rowland, 2003). Con la falta de información, generalmente son necesarias proyecciones de la mortalidad para completar estas tablas. Además, existen también tablas de mortalidad completas o desagregadas, que proveen información en años individuales de vida, mientras que las agregadas dan un resumen de esta misma información.

Funciones de las tablas de mortalidad[editar]

Notación Descripción
El número de personas vivas a edad exacta .
La probabilidad de sobrevivir entre las edades exactas y .
La probabilidad de morir de la edad exacta a .
El número de muertes entre las edades y .
El número promedio de vivos en el intervalo entre las edades exactas y Denota el número de años-persona vividos en el intervalo de edades y
La población total con edad y mayor, o el número total de años personas vividos desde la edad .
La esperanza de vida a la edad exacta ; el número promedio de años vividos por una persona desde la edad .

(Rowland, 2003)

Fórmulas[editar]

Cabe hacer la aclaración que las fórmulas a continuación son solo algunas de la gran variedad que nos presentan las funciones. Por lo mismo, las fórmulas a continuación son calculadas con información que la misma tabla de mortalidad proporciona. se establece desde un principio de manera arbitraria, generalmente 100,000 y es conocido como radix.

  • donde a(x) es el factor de ajuste.
  • es la tasa bruta de mortalidad específica.

Considerando el factor de ajuste en las fórmulas:

y finalmente:

Ejemplo: Tabla de mortalidad Mexicana[editar]

Edad
<1 0.013 0.987 0.014 100,000 1340 98,794.0 7,497,772.411 74.978
1-4 0.002 0.998 0.001 98,660 230 394,088.0 7,398,978.411 74.995
5-9 0.001 0.999 0.000 98,430 125 491,837.2 7,004,890.411 71.166
10-14 0.002 0.998 0.000 98,304 151 491,145.1 6,513,053.211 66.254
15-19 0.004 0.996 0.001 98,153 440 489,666.3 6,021,908.111 61.352
20-24 0.006 0.994 0.001 97,713 623 487,008.8 5,532,241.811 56.617
25-29 0.008 0.992 0.002 97,090 736 483,610.6 5,045,233.011 51.964
30-34 0.009 0.991 0.002 96,354 872 479,590.4 4,561,622.411 47.342
35-39 0.011 0.989 0.002 95,482 1053 474,777.6 4,082,032.011 42.752
40-44 0.013 0.987 0.003 94,428 1264 468,982.6 3,607,254.411 38.201
45-49 0.019 0.981 0.004 93,164 1790 461,346.8 3,138,271.811 33.685
50-54 0.029 0.971 0.006 91,374 2637 450,281.3 2,676,925.011 29.296
55-59 0.044 0.956 0.009 88,737 3904 433,927.5 2,226,643.711 25.092
60-64 0.067 0.933 0.014 84,833 5680 409,964.1 1,792,716.211 21.132
65-69 0.097 0.903 0.020 79,152 7713 376,480.2 1,382,752.111 17.469
70-74 0.150 0.850 0.032 71,439 10729 330,375.9 1,006,271.911 14.086
75-79 0.224 0.776 0.050 60,710 13591 269,575.4 675,896.011 11.133
80-84 0.316 0.684 0.075 47,119 14911 198,319.4 406,320.611 8.623
85-89 0.445 0.555 0.114 32,208 14318 125,246.0 208,001.211 6.458
90-94 0.577 0.423 0.177 17,889 10327 58,468.2 82,755.211 4.626
95-99 0.703 0.297 0.277 7,562 5319 19,197.1 24,286.971 3.212
100+ 1 0 0.441 2,243 2243 5,089.9 5,089.861 2.269

(México, 2011)

Desagregación[editar]

Archivo:Actuarial1.jpg
Coeficientes de interpolación basados en la fórmula “ordinaria” de Beers; Beers, Henry S. 1945

Graduación.- Es necesario que una tabla de mortalidad tenga una graduación; es decir, que mediante algún método actuarial como son:

  • Método de Whitaker.
  • Métodos numéricos.
  • Métodos bayesianos.

...la tabla complete los valores faltantes de alguna cohorte o los corrija, pero con estimaciones suavizadas que permitan dar una aproximación lo más exacta posible. Según lo definen Haberman & Renshaw, 1996; una graduación es el conjunto de principios y métodos a través de los cuales se ajustan los datos observados para obtener una base suavizada, que permite hacer mejores inferencias y, en particular, realizar cálculos actuariales.

Desagregación.- Sin embargo, muchas veces las tablas de mortalidad se presentan por grupos quinquenales. Para facilitar la información por grupos. Es posible que quien obtenga la información de esta manera requiera información específica de una edad, por ejemplo de la población de 5 años. Cuando este sea el caso es necesario ocupar un método de desagregación. Los métodos de desagregación, son prácticamente algo parecido a una graduación inversa pues cumplen el propósito de suavizar los datos para hacer inferencias más precisas. Principalmente se ocupan tres:

  • Coeficientes por fórmula de Sprague.
  • Coeficientes por Karup-King.
  • Coeficientes por Beers.

Proceso de desagregación[editar]

Estos multiplicadores se ocupan de manera matricial es decir suponiendo que nuestra información de la tabla de mortalidad está de forma quinquenal. Haremos un pequeño ajuste sumando de edad <1 + edad 1-4 haciendo el grupo quinquenal 0-4.

Posteriormente, tomamos el primer panel como la matriz A y los primeros cinco renglones de la columna (0-4 hasta 20-24) como la matriz B, para ejemplificar mejor tomaremos los datos de la tabla anterior. Haciendo la multiplicación de matrices correspondiente A*B = C . La matriz C tendrá 5 renglones que serán las primeras cinco columnas de nuestra tabla desagregada, es decir, las probabilidades de morir de la edad 0,1,2,3 y 4. El proceso se repite tomando el mismo grupo de edades de la matriz B pero cambiando el panel, es decir panel 2 *matriz B, Panel central * matriz B. Cómo aún no es posible pasar al penúltimo panel se comenzará a recorrer el uso de los renglones de B . Para el cuarto grupo multiplicamos de nuevo matricialmente el panel central pero ahora tomando los renglones correspondiente a las edades (5-9 hasta 25-29). Y el proceso de repite “recorriendo” los renglones. Una vez que lleguemos al último renglón (en algunas tablas termina con el grupo 75-79 en este caso no se correría) aquí seguimos hasta llegar al grupo 95-99. Si faltan más de 2 grupos se repite la información con la del panel anterior, de lo contrario ahora ocupamos el último renglón multiplicado matricialmente con el penúltimo panel y posterior el último con el último panel. Se anexa un ejemplo donde la columna al final de cada grupo quinquenal hace la suma del grupo quinquenal.

Tabla de mortalidad desagregada

Edad Comprobación Edad Comprobación Edad Comprobación Edad Comprobación
0 0.0051780 25 0.0014233 50 0.0048500 75 0.0382951
1 0.0040180 26 0.0014649 51 0.0052715 76 0.0414687
2 0.0030010 27 0.0015101 52 0.0057314 77 0.0447163
3 0.0021280 28 0.0015620 53 0.0062312 78 0.0480029
4 0.0014010 0.0157300 29 0.0016195 0.0075800 54 0.0067757 0.0288600 79 0.0513867 0.2238700
5 0.0008220 30 0.0016785 55 0.0073650 80 0.0548577
6 0.0003930 31 0.0017386 56 0.0080095 81 0.0585817
7 0.0001120 32 0.0018040 57 0.0087242 82 0.0627678
8 0.0000230 33 0.0018757 58 0.0095173 83 0.0675237
9 0.0000340 0.0012700 34 0.0019529 0.0090500 59 0.0103837 0.0440000 84 0.0727189 0.3164500
10 0.0000490 35 0.0020422 60 0.0113508 85 0.0781240
11 0.0001860 36 0.0021359 61 0.0123809 86 0.0835481
12 0.0003280 37 0.0022190 62 0.0134070 87 0.0889738
13 0.0004410 38 0.0022859 63 0.0144030 88 0.0943179
14 0.0005330 0.0015400 39 0.0023469 0.0110300 64 0.0154181 0.0669600 89 0.0995960 0.4445600
15 0.0006510 40 0.0024155 65 0.0165062 90 0.1048572
16 0.0007970 41 0.0025089 66 0.0177561 91 0.1101386
17 0.0009240 42 0.0026367 67 0.0192296 92 0.1154499
18 0.0010180 43 0.0028085 68 0.0209775 93 0.1207692
19 0.0010870 0.0044800 44 0.0030202 0.0133900 69 0.0229704 0.0974400 94 0.1260450 0.5772600
20 0.0011520 45 0.0032626 70 0.0251255 95 0.1312159
21 0.0012230 46 0.0035279 71 0.0274086 96 0.1362148
22 0.0012840 47 0.0038178 72 0.0298646 97 0.1409725
23 0.0013368 48 0.0041305 73 0.0324927 98 0.1454216
24 0.0013821 0.0063800 49 0.0044710 0.0192100 74 0.0352884 0.1501800 99 0.1494949 0.7033200

Fuentes para obtener datos para tablas de mortalidad[editar]

Lo más usual es usar un radix de 100,000 para comenzar nuestra tabla, posteriormente se pueden usar datos que representen la mortalidad de alguna cohorte. Estas fuentes generalmente deberán venir de estadísticas confiables. Podemos utilizar como información inicial las estadísticas hechas por: INEGI; México. INE; España. CDC (National Vital Statistics System); EE.UU. UK National Statistics, Reino Unido. OMS; estadísticas mundiales.

Bibliografía y referencias[editar]

  • Bowers, Newton L. (1997). Actuarial Mathematics. 
  • Mexico (2013). Life Expectancy: Life Tables, Global Health Observatory Data Repository. 
  • Rowland, Donald T. (2003). Demographic Methods and Concepts. 
  • Renshaw, A.; Haberman S. (22 de septiembre de 2008). Journal of the Royal Statistical Society Series D. The Statitian Vol.45, No.4. 
  • Beers, Henry S. (1945). “Six-Term Formulas for Routine Actuarial Interpolation” in Discussion of Papers Presented in the Record, No.68, The Record of the American Institute of Actuaries,34. No.68, The Record of the American Institute of Actuaries,34. 
  • Cunningham, Robin J.; London, Richard (2011). Models for Quantifying Risk. 
  • Preston, S.H.; Guillot, M. (2001). Demography: Measuring and Modeling Population Processes. 
  • Siegel, J.S.; Swansom, D.A. (2007). The Methods and Material of Demography. 

Referencias[editar]

  1. «Creación de una tabla de mortalidad». Consultado el 2 de diciembre de 2016. 
  2. «John Graunt, primera tabla de mortalidad». 28 de abril de 2015. Consultado el 2 de octubre de 2016. 
  3. Roland Pressat, Introducción a la demografía (1977), Ariel, 1989, ISBN 84-344-1033-8, pags. 9-13
  4. En el alumbramiento de la estadística moderna, J.A. Camuñez; J. Basulto, septem ediciones, 2009, ISBN 978-84-92536-33-7
  5. John Graunt 1662, en formato digital, en Apuntes de demografía