Suma de Riemann

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Cuatro de los métodos de suma de Riemann para aproximar el área bajo las curvas.

En matemáticas, la Suma de Riemann es un tipo de aproximación del valor de una integral mediante una suma finita. Se llama así en honor de matemático alemán el siglo XIX Bernhard Riemann.

Definición[editar]

Consideremos lo siguiente:

  • una función
donde D es un subconjunto de los números reales
  • Un conjunto finito de puntos {x0, x1, x2, ... xn} tales que a = x0 < x1 < x2 ... < xn = b
crean una partición de I
P = {[x0, x1), [x1, x2), ... [xn-1, xn]}

Si P es una partición con n elementos de I, entonces la suma de Riemann de f sobre I con la partición P se define como

donde xi-1yixi. La elección de yi en este intervalo es arbitraria.
Si yi = xi-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la izquierda.
Si yi = xi, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha.

Suma Trapezoidal[editar]

En este caso, el valor de la función f en un intervalo se aproxima por el promedio de los valores de los extremos a izquierda y derecha. De la manera ya descrita, un simple cálculo usando la fórmula del área

para un trapecio con lados paralelos b1, b2 y altura h produces

El error de esta fórmula será

donde es el valor máximo del valor absoluto de

Donde a es el valor aproximado

La aproximación obtenida con la suma trapezoidal para una función es igual al promedio de las sumas izquierda y derecha de Riemann.

TrapRiemann2.svg
Método de Suma Trapezoidal de la función en el intervalo [0,2] usando cuatro subdivisiones.

Véase también[editar]