Suma de Riemann

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda
Cuatro de los métodos de suma de Riemann para aproximar el área bajo las curvas.

La suma de Riemann consiste en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de ellos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.

Definición[editar]

Consideremos lo siguiente:

  • una función
donde D es un subconjunto de los números reales
  • Un conjunto finito de puntos {x0, x1, x2, ... xn} tales que a = x0 < x1 < x2 ... < xn = b
crean una partición de I
P = {[x0, x1), [x1, x2), ... [xn-1, xn]}

Si P es una partición con n elementos de I, entonces la suma de Riemann de f sobre I con la partición P se define como

donde xi-1yixi. La elección de yi en este intervalo es arbitraria.
Si yi = xi-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la izquierda.
Si yi = xi, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha.

Suma Trapezoidal[editar]

En este caso, el valor de la función f en un intervalo se aproxima por el promedio de los valores de los extremos a izquierda y derecha. De la manera ya descrita, un simple cálculo usando la fórmula del área

para un trapecio con lados paralelos b1, b2 y altura h produces

El error de esta fórmula será

donde es el valor máximo del valor absoluto de

La aproximación obtenida con la suma trapezoidal para una función es igual al promedio de las sumas izquierda y derecha de Riemann.

TrapRiemann2.svg
Método de Suma Trapezoidal de la función en el intervalo [0,2] usando cuatro subdivisiones.

Véase también[editar]