Subgrupo conmutador

En matemáticas, el subgrupo conmutador de un grupo G, es el subgrupo generado por todos los elementos de la forma

$[a,b]=aba^{-1}b^{-1}$

denominado conmutador de a con b.

Al subgrupo conmutador también se le conoce como subgrupo derivado de G y se simboliza por $G'$ o $[G,G]$. Esto significa que si $x\in [G,G]$ entonces x se escribe como una palabra de conmutadores esto es,

$x=a_{1}b_{1}{a_{1}}^{-1}{b_{1}}^{-1}a_{2}b_{2}{a_{2}}^{-1}{b_{2}}^{-1}\cdots a_{r}b_{r}{a_{r}}^{-1}{b_{r}}^{-1}$.

Se puede demostrar que [G,G] es un subgrupo normal y que el grupo cociente $G/[G,G]$ es abeliano. El subgrupo conmutador es el menor que verifica esa propiedad, es decir: si $H\vartriangleleft G$ verifica que $G/H$ es abeliano entonces $[G,G]\subseteq H$.

La construcción $G/[G,G]$ recibe el nombre de abelianización de G.

Proposiciones

Baumslag y Chandler en su Teoría de grupos enuncian las siguientes proposiciones:

• El inverso de un conmutador es un conmutador.
• G'-subgrupo derivado de G- es un subgrupo normal en G.
• G es conmutativo si, sólo si G' ={e}, i.e. G es conmutativo si y solo si su subgrupo conmutador es el subgrupo que contiene únicamente al elemento neutro.

Serie normal y serie derivada

Dado un grupo $G$, La serie derivada es una construcción iterada, definida de la siguiente manera:

$G^{(0)}:=G$

$G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]\quad n\in \mathbf {N}$

Los grupos $G^{(2)},G^{(3)},\ldots$ se denominan segundo grupo derivado, tercer grupo derivado, y así en adelante y forman la serie normal descedente.

$\cdots \triangleleft G^{(2)}\triangleleft G^{(1)}\triangleleft G^{(0)}=G$

se denomina la serie derivada. Esta no debe confundirse con la serie central inferior, cuyos términos son $G_{n}:=[G_{n-1},G]$.

Para un grupo finito, la serie derivada termina en un grupo perfecto, que puede o no ser trivial. Para un grupo infinito, la serie derivada no necesita terminar en una etapa finita, y puede continuar hasta infinitos números ordinales mediante recursión transfinita, obteniendo así la serie derivada transfinita, que finalmente termina en el núcleo perfecto del grupo.

Véase también

• Conmutador (matemática)

Bibliografía

• Rotman, Joseph J. (1999). An Introduction to the Theory of Groups. Springer. ISBN 0387942858. 
• Lang, Serge (2005). Algebra. Springer. ISBN 038795385X. 

• Datos: Q522216