Subespacio invariante

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Gráfica de dos vectores y sus respectivas transformaciones mediante una rotación respecto al eje z. El vector contenido en el plano xy (amarillo) tiene una transformada (verde) en el mismo plano

En álgebra lineal, un subespacio invariante es un subespacio vectorial que contiene las transformadas de sus vectores, dada la transformación correspondiente.

Si se tienen un subespacio S y una aplicación T, de manera que las transformadas de los vectores de S a través de T pertenecen al mismo S, se dice que el subespacio S es T-invariante, o invariante por T.[1]

Definición[editar]

Sea \mathbb{V} un conjunto de vectores sobre el cual está definida una estructura de espacio vectorial. Dado un endomorfismo T : \mathbb{V} \to \mathbb{V} se dice que

Un subespacio S de \mathbb{V} es un subespacio invariante frente a T (o T-invariante) si para todo vector \mathbf{ s }\in S se cumple que T(\mathbf{s}) \in S.

En otras palabras, S es un subespacio invariante si T(S)\subseteq S.[2]

Ejemplos[editar]

  • Consideremos \mathbb{V}=\mathbb{R}^3 y T una transformación lineal que rota un vector dado alrededor del eje z. Notemos que el plano xy (llamémoslo S = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:z=0\}) es un subespacio de \mathbb{V}.

Al rotar un vector cualquiera de este plano alrededor del eje z se obtiene otro vector en el mismo plano. Es decir que para todo \mathbf{s}\in S se tiene que T(\mathbf{s})\in S, o bien, si transformamos cualquier vector contenido en xy obtenemos otro vector también contenido en este plano. Por lo tanto, el plano S es T-invariante.

  • El núcleo de una transformación lineal T es un subespacio T-invariante.
Demostración
Si definimos T : \mathbb{V} \to \mathbb{V} entonces su núcleo está dado por el conjunto \mathrm{Nu}(T) = \{\mathbf{v}\in\mathbb{V}:T(\mathbf{v})=\mathbf{0}\} donde 0 es el vector nulo definido en \mathbb{V}.

Para toda transformación lineal vale que T(\mathbf{0})=\mathbf{0}, entonces \mathbf{0}\in\mathrm{Nu}(T), como \mathbf{0}=T(\mathbf{0})\Longrightarrow T(\mathbf{0})\in\mathrm{Nu}(T) y \mathrm{Nu}(T) es T-invariante porque todo vector del núcleo transformado también pertenece a él.

  • La imagen de una transformación lineal también es un subespacio invariante frente la transformación en cuestión.
Demostración
Sea T un endomorfismo. Podría pasar que todo vector de la imagen tuviera a su vez una transformada, en cuyo caso T\big(\mathrm{Im}(T)\big)=\mathrm{Im}(T) y concluiría la demostración.

No obstante, podría ser que sólo algunos vectores tuvieran transformada. Veamos que es imposible que, en un endomorfismo, ninguno la tenga, puesto que el vector nulo siempre tiene como transformada al vector nulo, por lo tanto pertenece a la imagen de T y a su vez podemos volver a transformarlo como vector de la imagen para obtener cero nuevamente. Como \mathbf{0}\in \mathrm{Im}(T)\Longrightarrow\{\mathbf{0}\}\subset \mathrm{Im}(T).

Conclusión: T\big(\mathrm{Im}(T)\big)\subseteq\mathrm{Im}(T) y queda demostrado que \mathrm{Im}(T) es T-invariante.

  • Consideremos ahora una transformación lineal T con un autovector v. El subespacio generado por v es un subespacio T-invariante.
Demostración
Se puede comprobar que el conjunto S_{\lambda}=\{\mathbf{v}\in\mathbb{V}:T(\mathbf{v})=\lambda\mathbf{v}, \ \lambda \in \mathbb{K}\} (con \mathbb{K} el cuerpo sobre el cual están definidos los escalares en \mathbb{V}) es un subespacio de \mathbb{V} (basta con comprobar que el elemento neutro e inverso para la suma, así como la suma de dos vectores y el producto de un vector por un escalar están contenidos en S_{\lambda}). Este conjunto se llama espacio propio asociado al autovalor \lambda.

Es simple demostrar que es invariante, ya que para todo \mathbf{v}\in S_{\lambda} su transformada T(\mathbf{v})=\lambda\mathbf{v}\in S_{\lambda}, basta ver que T(\lambda\mathbf{v})=\lambda T(\mathbf{v})=\lambda\cdot(\lambda \mathbf{v}). En conclusión, todo autovector transformado también es autovector y, por lo tanto, el espacio S_{\lambda} que generan es invariante.

  • Vamos a un ejemplo más concreto, consideremos la transformación lineal T : \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida como T(x)=A x donde 
   A =
   \begin{bmatrix}
      1 & 0 & 0 \\
      0 & 1 & 3 \\
      0 & -4 & 5
   \end{bmatrix}
entonces el subespacio generado por el vector (1,0,0) es un subespacio invariante frente a T, ya que el vector mencionado es un autovector de T (está asociado al autovalor 1, se ve que 
   T \left(
   \begin{smallmatrix}
   1 \\ 0 \\ 0
   \end{smallmatrix}
   \right) = \left(
   \begin{smallmatrix}
   1 \\ 0 \\ 0
   \end{smallmatrix}\right)
).
  • Generalizando el ejemplo anterior, dada la Forma canónica de Jordan de una transformación lineal, cada uno de los subespacios asociados a los bloques de Jordan son subespacios invariantes frente a la transformación en cuestión.

Simetrías[editar]

  • Consideremos el plano R2 y la transformación lineal que a cada vector de dicho plano le asigna su reflexión respecto al eje y, es decir T(x,y)=(-x,y). El subespacio generado por el vector (1,0) es T-invariante, mientras que (1,1) no.
  • Consideremos el plano R2 y la transformación lineal que a cada vector de dicho plano le asigna la reflexión respecto al origen de coordenadas, es decir T(x,y)=(-x,-y). Entonces todo subespacio de R2 es invariante frente a dicha reflexión.

Observación[editar]

Notemos que la palabra «invariante» puede generar confusión en el siguiente sentido: un subespacio puede ser invariante y sin embargo «variar» bajo la transformación en cuestión. Esto es posible dado que la condición para que el subespacio sea invariante es T(S)\subseteq S y no T(S)=S.

Referencias[editar]

  1. Raya, Andrés; Rubio, Rafael. Álgebra y geometría lineal (2007 edición). Reverte. p. 299. ISBN 9788429150384. 
  2. Castellet, Manuel; Llerena, Irener (1996). Álgebra lineal y geometría. Reverte. p. 159. ISBN 9788429150094. 

Véase también[editar]