Subespacio vectorial

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En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V el espacio vectorial original.

Definición de subespacio vectorial[editar]

Sea un espacio vectorial sobre y no vacío, es un subespacio vectorial de si:

Consecuencias[editar]

  • Un subconjunto de vectores que cumple las dos condiciones anteriores es un subespacio vectorial y por tanto un espacio vectorial.
Demostración
i) permite el cumplimiento de la propiedad conmutativa y asociativa.

ii) permite el cumplimiento de la propiedad asociativa, elemento neutro y propiedad distributiva respecto las dos operaciones.

Luego para el elemento neutro de la suma este se puede obtener como , que y lo mismo para el elemento opuesto de la suma obtenido como , ya que

Notaciones

Dado un subespacio vectorial, se tiene:

Para i) el abuso de lenguaje , e incluso es correcto.

Demostración
Se quiere ver que :

Para ii) el abuso de lenguaje , e incluso es correcto.

Demostración

Criterio de verificación[editar]

Es posible sintetizar i) y ii) en una condición única:

Si V es un espacio vectorial, entonces un subconjunto no vacío U de V es un subespacio vectorial si y sólo si para cualesquiera dos vectores v, w pertenecientes a U y cualesquiera escalares r y s pertenecientes al cuerpo asociado, el vector es también un elemento de U.

Ejemplos[editar]

Dado el espacio vectorial , sus elementos son del tipo .

El subconjunto

.

es un subespacio vectorial.

Demostración
Por definición de U los elementos son de la forma .




como las operaciones están bien definidas entonces U es en sí mismo un espacio vectorial, es decir, satisface las condiciones de subespacio vectorial de .

El subconjunto

no es un subespacio vectorial.

Demostración
Nuevamente sólo es necesario verificar tres condiciones: la pertenencia del vector nulo y la cerradura de ambas operaciones.

El vector nulo (0, 0) sí es un elemento de C puesto que 0 = 0².

Sin embargo, ni la suma ni el producto son cerrados:

  • Los vectores (1, 1) y (2, 4) son elementos de C, pero su suma (1, 1) + (2, 4) = (3,5) no lo es, puesto que 5 no es igual a 3².
  • El vector (2, 4) es un elemento de C, pero al multiplicarlo por el escalar 2 se obtiene (4, 8) que no es un elemento de C puesto que 8 no es igual a 4².

Operaciones con subespacios[editar]

Sea un espacio vectorial; y subespacios vectoriales de , se definen las siguientes operaciones:

Unión[editar]


En general, la unión de subespacios no es un subespacio.

Intersección[editar]


La intersección de dos subespacios es un subespacio.

Suma[editar]


La suma de dos subespacios es un subespacio de V.

Suma directa[editar]

Si la intersección entre S y W es el subespacio trivial (es decir, el vector nulo), entonces a la suma se la llama "suma directa".[1]
Es decir que si
Esto significa que todo vector de S+W, se escribe de manera única como la suma de un vector de S y otro de W.

Subespacios suplementarios[editar]

Se dice que los subespacios y son suplementarios cuando verifican que su suma directa es igual al espacio vectorial :

Dimensiones de subespacios[editar]

La fórmula de Grassmann resuelve que la dimensión de la suma de los subespacios y será igual a la dimensión del subespacio más la dimensión del subespacio menos la dimensión de la intersección de ambos, es decir:



Por ejemplo, siendo y y teniendo como intersección un subespacio de dimensión 1.
Luego, .

En la suma directa[editar]

En el caso particular de la suma directa, como .
La fórmula de Grassmann resulta:



Entonces en el ejemplo anterior, resultaría .

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. "Álgebra II" Armando O. Rojo. Editorial "El Ateneo". Buenos Aires.