En matemáticas, la secuencia aritmético-geométrica es el resultado de la multiplicación término por término de una progresión geométrica con los términos correspondientes de una progresión aritmética . En pocas palabras, el término n de una secuencia aritmético-geométrica es el producto del término n-ésimo de una secuencia aritmética y el término n-ésimo de una geométrica.[1] Las secuencias aritmético-geométricas surgen en diversas aplicaciones, como el cálculo de valores esperados en la teoría de la probabilidad. Por ejemplo, la secuencia:
es una secuencia aritmético-geométrica. El componente aritmético aparece en el numerador (en azul), y el geométrico en el denominador (en verde).
La suma de esta sucesión infinita se conoce como serie aritmético-geométrica, y su forma más básica se ha denominado escalera de Gabriel:[2][3][4]
La denominación también puede aplicarse a diferentes objetos que presenten características tanto de secuencias aritméticas como geométricas; por ejemplo, la noción francesa de secuencia aritmético-geométrica se refiere a secuencias de la forma , que generalizan tanto las sucesiones aritméticas como las geométricas. Tales secuencias son un caso especial de ecuaciones en diferencias lineales.
Términos de la secuencia[editar]
Los primeros términos de una sucesión aritmético-geométrica compuesta por una progresión aritmética (en azul) con diferencia y valor inicial y una progresión geométrica (en verde) con valor inicial y razón común están dados por:[5]
Por ejemplo, la secuencia
es definida por , , y .
Suma de los términos[editar]
La suma de los primeros n términos de una sucesión aritmético-geométrica tiene la forma:
donde y son los i-ésimos términos de la sucesión aritmética y geométrica, respectivamente.
Esta suma tiene la expresión de forma cerrada:[6]
Multiplicando la expresión de la secuencia:[5]
por r, da
Restando rSn de Sn, y usando la técnica de series telescópicas obtenemos:
donde la última igualdad resulta de la expresión para la suma de una serie geométrica.
Finalmente, dividir por 1 − r da el resultado:
Serie infinita[editar]
Si −1 < r < 1, entonces la suma S de la serie aritmético-geométrica, es decir, la suma de todos los infinitos términos de la progresión, viene dada por[5]
Si r está fuera del rango anterior, la serie:
- diverge (cuando r > 1, o cuando r = 1 donde la serie es aritmética y a y d no son ambos cero; si tanto a como d son cero en el último caso, todos los términos de la serie son cero y la serie es constante )
- o se alterna (cuando r ≤ −1).
Ejemplo: aplicación a valores esperados[editar]
Por ejemplo, la suma:
- ,
siendo la suma de una serie aritmético-geométrica definida por , , y , converge a .
Esta secuencia corresponde al número esperado de lanzamientos de moneda antes de obtener "cruz". La probabilidad de obtener cruz por primera vez en el k-ésimo lanzamiento es la siguiente:
- .
Por lo tanto, el número esperado de lanzamientos está dado por:
- .
Referencias[editar]
- ↑ «Arithmetic-Geometric Progression | Brilliant Math & Science Wiki». brilliant.org (en inglés estadounidense). Consultado el 21 de abril de 2021.
- ↑ Swain, Stuart G. (2018). «Proof Without Words: Gabriel's Staircase». Mathematics Magazine 67 (3): 209-209. ISSN 0025-570X. doi:10.1080/0025570X.1994.11996214.
- ↑ Edgar, Tom (2018). «Staircase Series». Mathematics Magazine 91 (2): 92-95. ISSN 0025-570X. doi:10.1080/0025570X.2017.1415584.
- ↑ Weisstein, Eric W. «Gabriel's Staircase». MathWorld.
- ↑ a b c Riley, Ken; Hobson, Michael; Bence, Stephen (2010). Mathematical methods for physics and engineering (en inglés) (Tercera edición). Cambridge University Press. p. 118. ISBN 978-0-521-86153-3. Consultado el 16 de enero de 2022.
- ↑ Spiegel, Murray R.; Lipschutz, Seymour; Liu, John (2014). Jesús Mares Chacón, ed. Fórmulas y tablas de matemática aplicada (4 edición). México D.F.: McGraw-Hill/Interamericana Editores, S.A. de C.V. ISBN 978-607-15-1145-4.
Bibliografía[editar]