Relaciones de Kramers-Kronig

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En matemáticas y en física, las relaciones de Kramers-Kronig describen la relación que existe entre la parte real y la parte imaginaria de ciertas funciones complejas. La condición para que se apliquen a una función f(\omega) es que ésta debe representar la transformada de Fourier de un proceso físico lineal y causal. Si escribimos

f(\omega) = f_1(\omega) + i f_2(\omega),

con f_1 y f_2 dos funciones reales, entonces las relaciones de Kramers-Kronig son


f_1(\omega) = \frac{2}{\pi} \int_0^{\infty} 
\frac{\Omega f_2(\Omega)}{\Omega^2 - \omega^2}d\Omega
f_2(\omega) = -\frac{2 \omega}{\pi} \int_0^{\infty} 
\frac{f_1(\Omega)}{\Omega^2 - \omega^2}d\Omega
.


Las relaciones de Kramers-Kronig están relacionadas con la transformada de Hilbert, y son frecuentemente aplicadas a la permitividad \epsilon(\omega) de los materiales. Sin embargo, en este caso, hay que tener en cuenta que:

 f(\omega) = \chi(\omega) = \epsilon(\omega)/\epsilon_0 - 1\,,

con \chi(\omega) la susceptibilidad eléctrica del material. La susceptibilidad puede interpretarse como la transformada de Fourier de la respuesta temporal del material a una excitación infinitamente breve, es decir, su respuesta al impulso.