Transformada de Hilbert

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La transformada de Hilbert (en rojo) de una onda cuadrada (en azul).

En matemáticas y en procesamiento de señales, la transformada de Hilbert de una función real, , se obtiene mediante la convolución de las señales y , de donde se obtiene . Por lo tanto, la transformada de Hilbert se puede interpretar como la salida de un sistema LTI con entrada y respuesta al impulso .

Aplicaciones[editar]

Es una herramienta matemática útil para describir la envolvente compleja de una señal modulada por una portadora real. Su definición es:

donde , considerando la integral como el valor principal (lo que evita la singularidad ).

Utilizando , es posible construir la señal analítica de s(t) como:

La transformada de Hilbert posee una respuesta en frecuencia dada por la transformada de Fourier:

o, de manera equivalente:

(o también ) es la unidad imaginaria

Y, como:

,

la transformada de Hilbert produce entonces el efecto de desplazar la componente de frecuencias negativas de +90° y las partes de frecuencias positivas −90°.

Transformada inversa de Hilbert[editar]

También, , por lo que, multiplicando la ecuación anterior por , se obtiene:

de donde se obtiene la transformada inversa de Hilbert:

Ejemplos de transformadas[editar]

Señal
Transformada de Hilbert

Función sinc

función rectángulo

Función delta de Dirac

Enlaces externos[editar]