Espacio pseudométrico

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En Matemáticas, y más específicamente en Topología y Análisis funcional, espacio pseudométrico es un concepto que generaliza el de espacio métrico, sustituyendo el concepto de distancia por el de pseudodistancia o pseudométrica, de tal forma que la pseudodistancia entre dos puntos distintos puede ser cero.[1]

Una pseudodistancia o, más generalmente, una familia de pseudodistancias determina en un conjunto una estructura uniforme. El espacio topológico resultante se denomina espacio de calibración o espacio gauge.

Reciprocamente, toda estructura uniforme puede ser inducida por una familia de pseudodistancias. En particular, una sola pseudodistancia es suficiente para determinar la estructura si y solo si existe un sistema fundamental de entourages numerable.

Definición y propiedades[editar]

Un espacio pseudométrico es un par formado por un conjunto y una función (denominada semidistancia o pseudométrica), con valores reales no negativos, tal que para todo ,

  1. .
  2. (simetría)
  3. (desigualdad triangular)

De estas condiciones se deduce que la pseudodistancia no puede tomar valores negativos, ya que .

Todo espacio métrico es un espacio pseudométrico. Sin embargo, en general, no se requiere que los puntos sean distinguibles; es decir, puede darse para diferentes valores .

Utilizando pseudodistancias en lugar de distancias se pueden trasladar fácilmente a los espacios pseudométricos algunos conceptos definidos originalmente para espacios métricos, como el de acotación de conjuntos y funciones o el de continuidad uniforme.

La suma de una familia finita de pseudodistancias en un conjunto es otra pseudodistancia .

A partir de una familia numerable de pseudodistancias definidas en el mismo conjunto puede definirse una distancia por medio de

Ejemplos[editar]

  • Todo espacio métrico es válido como ejemplo de espacios pseudométricos.
  • La pseudodistancia nula definida en cualquier conjunto determina la topología trivial.
  • Sea el espacio de funciones definidas en un conjunto con valores reales, en el que se ha elegido un punto . Este punto induce una pseudodistancia en definida por
para todo
  • En un espacio vectorial , una seminorma induce una pseudodistancia definida por
  • Todo espacio de medida puede verse como un espacio pseudométrico completo definiendo
para todo .

Topología[editar]

La topología pseudométrica es la topología inducida por las bolas abiertas

que forman una base para la topología.[2]

Se dice que un espacio topológico es pseudometrizable si puede dotarse de una pseudodistancia tal que la topología pseudométrica coincide con la dada.

La diferencia entre pseudodistancias y distancias es esencialmente topológica. Una pseudodistancia es una distancia si y solo si la topología que genera es de Kolmogorov (es decir, puntos diferentes son topológicamente distinguibles).

Pseudodistancias y estructuras uniformes[editar]

Definición de una estructura uniforme a partir de una pseudodistancia[editar]

Sea un conjunto dotado de una pseudodistancia . El conjunto de imágenes inversas por d de intervalos de la forma [0,a), es un sistema fundamental de entourages para una estructura uniforme sobre

, siendo

Se dice que dicha estructura está definida o determinada por la pseudodistancia .

Igualmente, una familia de pseudodistancias en un conjunto , determina una estructura uniforme que es el supremo de las estructuras definidas por cada una de ellas. Es decir, la intersección de todas las estructuras uniformes definidas en dicho conjunto que contengan todas las estructuras individuales.

Definición de una pseudodistancia a partir de una estructura uniforme[editar]

Sea un espacio uniforme en el que se puede identificar un sistema fundamental de entourages numerable. Se puede demostrar la existencia de otro sistema fundamental de entourages simétricos cumpliendo y , donde S∘S∘S representa un encadenamiento de entourages.

Para construir una pseudodistancia, partimos de la función , definida por

Esta función es simétrica y se anula en la diagonal, pero no cumple necesariamente la desigualdad triangular. Para obtener el resultado deseado se utiliza el siguiente procedimiento.

Sea C el conjunto de todas las secuencias finitas de puntos de que comienzan en y terminan en . Entonces podemos definir una pseudodistancia en mediante

.

La estructura uniforme determinada por esta pseudodistancia es la estructura uniforme original.

Este resultado puede generalizarse. Dada cualquier estructura uniforme en un conjunto , es posible identificar una familia de pseudométricas que, a su vez, determine la estructura uniforme de partida.[3]

Identificación métrica[editar]

Se denomina identificación métrica a la relación de equivalencia definida por si .

Sean

Entonces es una métrica en y un espacio métrico bien definido.[4]

La identificación métrica preserva las topologías inducidas. Es decir, un subconjunto es abierto (o cerrado) en si y solo si es abierto (o cerrado) en y A es saturado, siendo la proyección canónica que hace corresponder a cada punto de la clase de equivalencia que lo contiene.

Notas[editar]

  1. Burago, Dimitri; Burago, Yu D; Ivanof, Sergei (2001). A Course in Metric Geometry (en inglés). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2129-6. 
  2. Pseudometric topology en PlanetMath.
  3. Bourbaki, Nicolas (1974). «IX». Éléments de mathématique. Topologie générale (en francés). Hermann. ISBN 978-3-540-34399-8. 
  4. Howes, Norman R. (1995). Modern Analysis and Topology (en inglés). New York, NY: Springer. p. 27. ISBN 0-387-97986-7. Consultado el 10 de septiembre de 2012. 

Referencias[editar]

  • von Querenburg, Boto (2001). Mengentheoretische Topologie (en alemán). Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-67790-9. 
  • Arkhangel'skii, A.V.; Pontryagin, L.S. (1990). General Topology I: Basic Concepts and Constructions Dimension Theory. Encyclopaedia of Mathematical Sciences (en inglés). Springer. ISBN 3-540-18178-4.