Producto interior

En matemáticas, el producto interior (también conocido como derivada interior, multiplicación interior, operador de inserción o derivación interna) es una (anti)derivación de grado−1 en el álgebra exterior de formas diferenciales en una variedad diferenciable. El producto interior, nombrado así en oposición al producto exterior, no debe confundirse con un espacio prehilbertiano. El producto interior ι_Xω a veces se escribe como X ⨼ ω.​

Definición

El producto interior se define como la contracción de una forma diferencial con un campo vectorial. Por tanto, si X es un campo vectorial en una variedad M, entonces

$\iota _{X}\colon \Omega ^{p}(M)\to \Omega ^{p-1}(M)$

es la aplicación que envía una p-forma ω a la (p−1)-forma ι_Xω definida por la propiedad de que

$(\iota _{X}\omega )(X_{1},\ldots ,X_{p-1})=\omega (X,X_{1},\ldots ,X_{p-1})$

para cualquier campo vectorial X₁, ..., X_p−1.

El producto interior es la única antiderivación de grado −1 en el álgebra exterior, de modo que en uno-formas α

$\displaystyle \iota _{X}\alpha =\alpha (X)=\langle \alpha ,X\rangle$,

donde ⟨ , ⟩ es el emparejamiento dual entre α y el vector X. Explícitamente, si β es una forma p, entonces

$\iota _{X}(\beta \wedge \gamma )=(\iota _{X}\beta )\wedge \gamma +(-1)^{p}\beta \wedge (\iota _{X}\gamma ).$

La relación anterior indica que el producto interior obedece a una regla de Leibniz calificada. Una operación que satisface la linealidad junto con una regla de Leibniz se llama derivación.

Propiedades

Por antisimetría de formas,

$\iota _{X}\iota _{Y}\omega =-\iota _{Y}\iota _{X}\omega$

y entonces $\iota _{X}\circ \iota _{X}=0$. Esto se puede comparar con la derivada exterior d, que tiene la propiedad de que d ∘ d = 0.

El producto interior relaciona la derivada exterior y la derivada de Lie de formas diferenciales por la fórmula de Cartan (también conocida como identidad de Cartan , fórmula de homotopía de Cartan​ o fórmula mágica de Cartan):

${\mathcal {L}}_{X}\omega =d(\iota _{X}\omega )+\iota _{X}d\omega =\left\{d,\iota _{X}\right\}\omega .$

Esta identidad define una dualidad entre las derivadas exterior e interior. La identidad de Cartan es importante en topología simpléctica y relatividad general: consúltese la aplicación momento.​ La fórmula de homotopía de Cartan lleva el nombre de Élie Cartan.​

El producto interior con respecto al conmutador de dos campos vectoriales $X$, $Y$ satisface la identidad

$\iota _{[X,Y]}=\left[{\mathcal {L}}_{X},\iota _{Y}\right].$

Véase también

• Producto de Cap
• Espacio prehilbertiano
• Contracción tensorial

Bibliografía

• Theodore Frankel, The Geometry of Physics: An Introduction; Cambridge University Press, 3rd ed. 2011
• Loring W. Tu, An Introduction to Manifolds, 2e, Springer. 2011. doi 10.1007/978-1-4419-7400-6

• Datos: Q767667