Producto interior

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En matemáticas, el producto interior (también conocido como derivada interior, multiplicación interior, operador de inserción o derivación interna) es una (anti)derivación de grado−1 en el álgebra exterior de formas diferenciales en una variedad diferenciable. El producto interior, nombrado así en oposición al producto exterior, no debe confundirse con un espacio prehilbertiano. El producto interior ιXω a veces se escribe como Xω.[1]

Definición[editar]

El producto interior se define como la contracción de una forma diferencial con un campo vectorial. Por tanto, si X es un campo vectorial en una variedad M, entonces

es la aplicación que envía una p-forma ω a la (p−1)-forma ιXω definida por la propiedad de que

para cualquier campo vectorial X1, ..., Xp−1.

El producto interior es la única antiderivación de grado −1 en el álgebra exterior, de modo que en uno-formas α

,

donde ⟨ , ⟩ es el emparejamiento dual entre α y el vector X. Explícitamente, si β es una forma p, entonces

La relación anterior indica que el producto interior obedece a una regla de Leibniz calificada. Una operación que satisface la linealidad junto con una regla de Leibniz se llama derivación.

Propiedades[editar]

Por antisimetría de formas,

y entonces . Esto se puede comparar con la derivada exterior d, que tiene la propiedad de que dd = 0.

El producto interior relaciona la derivada exterior y la derivada de Lie de formas diferenciales por la fórmula de Cartan (también conocida como identidad de Cartan , fórmula de homotopía de Cartan[2]​ o fórmula mágica de Cartan):

Esta identidad define una dualidad entre las derivadas exterior e interior. La identidad de Cartan es importante en topología simpléctica y relatividad general: consúltese la aplicación momento.[3]​ La fórmula de homotopía de Cartan lleva el nombre de Élie Cartan.[4]

El producto interior con respecto al conmutador de dos campos vectoriales , satisface la identidad

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. El caracter ⨼ es el U+2A3C en Unicode
  2. Tu, Sec 20.5.
  3. Existe otra fórmula llamada "fórmula de Cartan". Véase álgebra de Steenrod.
  4. Is "Cartan's magic formula" due to Élie or Henri?, mathoverflow, 21 de septiembre de 2010, consultado el 25 de junio de 2018 

Bibliografía[editar]

  • Theodore Frankel, The Geometry of Physics: An Introduction; Cambridge University Press, 3rd ed. 2011
  • Loring W. Tu, An Introduction to Manifolds, 2e, Springer. 2011. doi 10.1007/978-1-4419-7400-6