Dominio euclídeo

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Un dominio euclídeo (o anillo euclídeo) es un par donde es un dominio de integridad y es una aplicación norma euclídea, es decir, una aplicación que cumple las siguientes dos condiciones:

  • cualesquiera que sean .
  • Para cualesquiera tales que se cumple que existen de manera que si ha de ser .

Es importante señalar que la definición es exactamente esa, aun cuando en algún caso particular pueda extenderse a todo el conjunto R.

Ejemplos[editar]

  • Si tomamos el conjunto de los números enteros y como norma euclídea tomamos la aplicación valor absoluto , tenemos un dominio euclídeo.
  • Considerando el anillo de polinomios en una variable con coeficientes en el cuerpo y como aplicación norma euclídea tomo el grado de cada polinomio, el resultado es un dominio euclídeo.
  • en el anillo de los enteros gaussianos α = a +bi, entonces se define norma de α, como N(α)= la suma de los cuadrados de a y b.

Ejemplos de norma euclídea[editar]

El valor absoluto es un ejemplo de norma euclídea en , pues para todo y de con , además de por lo indicado en el algoritmo de la división.

Además, en todo cuerpo puede definirse una norma euclídea, tomándose ésta como la aplicación constante (el elemento neutro multiplicativo de ), ya que, para cualesquiera elementos y de , el elemento y el elemento aludidos en la definición de norma euclídea pueden tomarse como y respectívamente, y así .

Un hecho menos evidente es que si es un cuerpo, entonces el anillo de polinomios tiene por norma euclídea la aplicación

que a cada polinomio no nulo de le asigna su grado.

Véase también[editar]

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