Ley de Grashof

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La Ley de Grashof establece que un mecanismo de cuatro barras tiene al menos una articulación de revolución completa, si y solo si la suma de las longitudes de la barra más corta y la barra más larga es menor o igual que la suma de las longitudes de las barras restantes.

Demostración[editar]

Análisis de una articulación de revolución completa[editar]

Dado un mecanismo cualquiera de cuatro barras ABCD consecutivas, se analizara la articulación AB. Se define como el ángulo relativo entre las barras A y B, como el ángulo relativo entre C y D, y como la distancia entre las articulaciones BC y AD.

Se sabe que por el teorema del coseno:

siendo el coseno una función acotada superiormente por uno, se puede afirmar entonces la siguiente inecuación:

con el desarrollo del binomio del cuadrado de la resta se deduce (aplicando la raíz cuadrada a ambos términos de la inecuación):

Se puede observar también de la llamada desigualdad triangular que:

de ambas se deduce:

Si se supone que la articulación AB es de revolución completa, entonces

Finalmente, se obtienen las relaciones necesarias y suficientes para que la articulación AB sea de revolución completa:

.

Análisis de un mecanismo de cuatro barras de longitudes diferentes[editar]

Se toma un mecanismo de cuatro barras I, II, III y IV en cualquier orden tal que

(Los casos particulares se analizan más adelante)

Hipotéticamente existen 6 tipos de articulaciones posibles: I*II, I*III, I*IV, II*III, II*IV y III*IV.

Y de la relación (1) se desprenden:

I*II no es de revolución completa pues (2). Análogamente (3) y (4) impiden que I*III y II*III lo sean.

Analizando la articulación I*IV se nota que es necesario y suficiente que se cumplan (4) y

O equivalentemente

O

Entonces son posibles articulaciones de revolución completa: I*IV, pues (4) y (5); II*IV, pues (3) y (6); y III*IV, pues (2) y (7).

Casos particulares[editar]

Y como consecuencia la única articulación que no es de revolución completa es la I*II

análogamente se deduce que si las barras son todas de la misma longitud todas las articulaciones son de revolución completa.

Corolarios[editar]

Si cumple (5) además del teorema se cumple que:

  • Si las barras son todas distintas, entonces solo hay dos articulaciones de revolución completa y articulan a la barra más pequeña.
  • Si las barras son todas iguales, todas las articulaciones son de revolución completa.
  • Si hay un par de barras iguales, y el par de barras más grandes está articulado entre sí, entonces esta es la única articulación de revolución incompleta.

Véase también[editar]