Mecanismo de cuatro barras

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Mecanismo de cuatro barras.

En ingeniería mecánica un mecanismo de cuatro barras o cuadrilátero articulado es un mecanismo formado por tres barras móviles y una cuarta barra fija (por ejemplo, el suelo), unidas mediante nudos articulados (unión de revoluta o pivotes). Las barras móviles están unidas a la fija mediante pivotes. Usualmente las barras se numeran de la siguiente manera:

  • Barra 2. Barra que proporciona movimiento al mecanismo.
  • Barra 3. Barra superior.
  • Barra 4. Barra que recibe el movimiento.
  • Barra 1. Barra imaginaria que vincula la unión de revoluta de la barra 2 con la unión de revoluta de la barra 4 con el suelo.

Ley de Grashof[editar]

La Ley de Grashof es una fórmula utilizada para analizar el tipo de movimiento que hará el mecanismo de cuatro barras: para que exista un movimiento continuo entre las barras, la suma de la barra más corta y la barra más larga no puede ser mayor que la suma de las barras restantes.

Linkage four bar.png

Análisis de posición[editar]

Por mediciones físicas fácilmente se pueden tener las longitudes de las barras 1, 2, 3, 4. Ya que la barra 1 es estacionaria, su ángulo es fijo. Se dice que el ángulo de la barra 2 con respecto a la horizontal es una variable controladora. Por lo tanto, las incógnitas serán los ángulos de las barras 3 y 4.

Ecuación vectorial:

 \bar l_2 + \bar l_3 = \bar l_1 + \bar l_4
 l_2 \cos \theta\ _2i + l_2 \sin \theta\ _2j + l_3 \cos \theta\ _3i + l_3 \sin \theta\ _3j = l_1 \cos \theta\ _1i + l_1 \sin \theta\ _1j  + l_4 \cos \theta\ _4i + l_4 \sin \theta\ _4j

Separando las ecuaciones en dirección "i" y dirección "j"

Ecuación en "i":  l_2 \cos \theta\ _2 + l_3 \cos \theta\ _3 = l_1 \cos \theta\ _1 + l_4 \cos \theta\ _4
Ecuación en "j":  l_2 \sin \theta\ _2 + l_3 \sin \theta\ _3 = l_1 \sin \theta\ _1 + l_4 \sin \theta\ _4

Como se conocen el ángulo de la barra 2 y el ángulo de la barra 1, es posible simplificar realizando los siguientes cambios de variable:

 A = l_2 \cos \theta\ _2 - l_1 \cos \theta\ _1
 B = l_2 \sin \theta\ _2 - l_1 \sin \theta\ _1

Con lo cual queda el sistema de ecuaciones como:

 A + l_3 \cos \theta\ _3 = l_4 \cos \theta\ _4
 B + l_3 \sin \theta\ _3 = l_4 \sin \theta\ _4

Al elevar los términos al cuadrado y sumar ambas ecuaciones, teniendo en cuenta que \cos ^2 \theta\ + \sin ^2 \theta\ = 1, se simplifica de la siguiente manera:

 A^2 + 2Al_3 \cos \theta\ _3 + B^2 + 2Bl_3 \sin \theta\ _3 + l_3^2 = l_4^2
 A \cos \theta\ _3 + B \sin \theta\ _3 = \frac { l_4^2 - l_3^2 - A^2 - B^2 } { 2l_3 }

Es posible volver a simplificar realizando el siguiente cambio de variable:

 C = \frac { l_4^2 - l_3^2 - A^2 - B^2 } { 2l_3 }

Utilizando las identidades trigonométricas

 \sin \theta\ = \frac { 2 \tan \frac {1} {2} \theta\ } { 1 + \tan ^2 \frac {1} {2} \theta\ } ,  \cos \theta\ = \frac { 1 - \tan ^2 \frac {1} {2} \theta\ } { 1 + \tan ^2 \frac {1} {2} \theta\ }

y sustituyendo las identidades en la ecuación:

 \frac {A \left ( 1 - \tan ^2 \frac {1} {2} \theta\ _3 \right ) + B \left ( 2 \tan \frac {1} {2} \theta\ _3 \right ) } { 1 + \tan ^2 \frac {1} {2} \theta\ _3 } = C

se obtiene una ecuación cuadrática. Al usar la fórmula general para resolver el sistema se obtiene:

\tan \frac{1}{2} \theta\ _3 = \frac {B \pm \sqrt{A^2 + B^2 - C^2}}{C+A}

El valor para el ángulo de la barra 3 es el siguiente:

 \theta\ _3 = 2 \ tan ^ {-1} \left ( \frac {B \pm \sqrt{A^2 + B^2 - C^2}}{C+A} \right )

Para obtener el valor del ángulo de la barra 4 es el mismo procedimiento, definiendo el siguiente cambio de variable:

 D = - \frac { l_3^2 - l_4^2 - A^2 - B^2 } { 2l_4 }

El valor del ángulo de la barra 4 resulta:

 \theta\ _4 = 2 \ tan ^ {-1} \left ( \frac {B \pm \sqrt{A^2 + B^2 - D^2}}{D+A} \right )

NOTA: los dos valores que se pueden obtener para cada ángulo representan las diferentes configuraciones del sistema.

Análisis de velocidad[editar]

Este mecanismo debe analizarse mediante el método de la velocidad relativa

Datos de entrada

  • El único dato referido a velocidad que se conoce en un mecanismo de cuatro barras es la velocidad angular de la barra 2.
  • Mediante un análisis previo de posición se conoce la información de las barras.

Para el análisis se procederá a buscar la velocidad del punto B (unión de la barra 3 y 4). Para este punto existen dos trayectorias posibles: desde  O_2 \, hasta B y desde  O_4 \, hasta B. Para comenzar se define la velocidad de B con respecto a la barra 4

 \bar V_B = \bar \omega\ _4 \times\ \bar l_4 = \omega\ _4 l_4 \cos \theta\ _4 \hat j - \omega\ _4 l_4 \sin \theta\ _4 \hat i

Ahora se definirá la velocidad del punto B con respecto a la otra trayectoria.

 \bar V_B = \bar V_{B|A} + \bar V_{A} = \bar \omega\ _3 \times\ \bar l_3 + \bar \omega\ _2 \times\ \bar l_2

 \bar V_B = \omega\ _3 l_3 \cos \theta\ _3 \hat j - \omega\ _3 l_3 \sin \theta\ _3 \hat i + \omega\ _2 l_2 \cos \theta\ _2 \hat j - \omega\ _2 l_2 \sin \theta\ _2 \hat i

Igualando las ecuaciones para  \bar V_B \, y separando los componentes, se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

 \hat i \Rightarrow - \omega\ _4 l_4 \sin \theta\ _4 = - \omega\ _3 l_3 \sin \theta\ _3 - \omega\ _2 l_2 \sin \theta\ _2

 \hat j \Rightarrow \omega\ _4 l_4 \cos \theta\ _4 = \omega\ _3 l_3 \cos \theta\ _3 + \omega\ _2 l_2 \cos \theta\ _2

Análisis de aceleración[editar]

Este mecanismo debe analizarse mediante el método de aceleración relativa las fórmulas son:

Simuladores gratuitos[editar]

  • Simulador de 4 Barras Gráfica la posición, velocidad y aceleración. (Solo para windows)
  • KIMA(R) v2.5 Suite de programas para calcular la posición, velocidad y aceleración de los mecanismos: cuatro barras, manivela corredera e inversiòn tipo I de manivela corredera. Funciona en modo interactivo y en modo paramétrico, facilitando la interacción con MatLab(R). Uso libre para fines académicos y cinemáticos.

Véase también[editar]