Lema de escisión

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En matemáticas, más específicamente en álgebra homológica, el lema de escisión declara que, en cualquier categoría abeliana, las tres proposiciones para una secuencia exacta corta que se exponen a continuación son equivalentes.

Dada una secuencia exacta corta con morfismos q y r, entre los objetos de la categoría:

Sobre la que añadimos las flechas adicionales t y u para señalar unos morfismos que podrían no existir:

Tenemos que las proposiciones siguientes son equivalentes:

  • Escisión izquierda: Existe un morfismo t: BA tal que tq es la identidad en A.
  • Escisión derecha: Existe un morfismo u: CB tal que ru es la identidad en C.
  • Suma directa: B es isomorfo a la suma directa de A y C, con q correspondiendo a la inyección natural de A y r correspondiendo a la proyección natural en C. De forma más precisa, hay un isomorfismo de secuencias exactas cortas entre la secuencia dada y la secuencia con B sustituido por la suma directa de A y C, donde los morfismos son la inclusión y proyección canónicas. Sólo un isomorfismo de B con la suma directa no es suficiente.

La secuencia exacta corta se dice escindida si estas proposiciones se cumplen.

Referencias[editar]