Lema de Ehrling

En matemáticas, el lema de Ehrling es un resultado relativo a los espacios de Banach . A menudo se utiliza en el análisis funcional para demostrar la equivalencia de ciertas normas en los espacios de Sobolev. Fue propuesto por Gunnar Ehrling.

Declaración del lema

Sea ( X , || · || _X ), ( Y , || · || _Y ) y ( Z , || · || _Z ) tres espacios de Banach, asumir que:

• X está integrado de forma compacta en Y : es decir X ⊆ Y y cada || · || _X : la secuencia acotada en X tiene una subsecuencia que es || · || _Y - convergente ; y
• Y está continuamente incrustado en Z : es decir Y ⊆ Z y hay una constante k de modo que || y || _Z ≤ k || y || _Y para cada y ∈ Y.

Entonces, para cada ε > 0, existe una constante C ( ε ) tal que, para todo x ∈ X

$\|x\|_{Y}\leq \varepsilon \|x\|_{X}+C(\varepsilon )\|x\|_{Z}$

Corolario (normas equivalentes para espacios de Sobolev)

Sea Ω ⊂ R ⁿ abierto y acotado, y k ∈ N, suponga que el espacio de Sobolev H ^k ( Ω ) está integrado de forma compacta en H ^{k − 1} ( Ω ). Entonces las siguientes dos normas sobre H ^k ( Ω ) son equivalentes:

$\|\cdot \|:H^{k}(\Omega )\to \mathbf {R} :u\mapsto \|u\|:={\sqrt {\sum _{|\alpha |\leq k}\|\mathrm {D} ^{\alpha }u\|_{L^{2}(\Omega )}^{2}}}$

y

$\|\cdot \|':H^{k}(\Omega )\to \mathbf {R} :u\mapsto \|u\|':={\sqrt {\|u\|_{L^{2}(\Omega )}^{2}+\sum _{|\alpha |=k}\|\mathrm {D} ^{\alpha }u\|_{L^{2}(\Omega )}^{2}}}.$

Para el subespacio de H ^k ( Ω ) que consta de aquellas funciones de Sobolev con traza cero (aquellas que son "cero en el límite" de Ω ), la norma L ² de u puede omitirse para producir otra norma equivalente.

Referencias

• Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (1992). An Introduction to Partial Differential Equations. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-97952-4.