Homología (matemática)

En matemática (especialmente en topología algebraica y en álgebra homológica), la homología (en Griego homos = idéntico) es un procedimiento general para asociar un objeto matemático dado (por ejemplo un espacio topológico o un grupo) con una sucesión de grupos abelianos (o en contextos más generales módulos o cualquier elemento sobre una categoría abeliana), es decir una acción functorial.

Para un espacio topológico, los grupos de homología son generalmente mucho más fáciles de computar que los grupos de homotopía, y consecuentemente, uno habitualmente tendrá un trabajo más simple con homología para ayudar en la clasificación de espacios.

La motivación original de homología era definir y clasificar los agujeros de un espacio topológico. En este caso, los grupos de homología describen agujeros del espacio topológico. Cada generador indica la existencia de un agujero y las propiedades del grupo indica la estructura del espacio topológico como dimensión y orientabilidad.

Definición

Se define el n-ésimo grupo de homología asociado a un complejo de cadenas

\ldots \to A_{n+1}{\stackrel {\delta _{n+1}}{\to }}A_{n}{\stackrel {\delta _{n}}{\to }}A_{n-1}\to \ldots

donde $\delta _{n}\circ \delta _{n+1}=0$

como el grupo abeliano

H(A_{n})={\frac {\ker(\delta _{n})}{\rm {im(\delta _{n+1})}}}.

También se utiliza la notación

H_{n}(A)

, donde

A

es el complejo de cadenas respectivo.

Se llama $\ker(\delta _{n})$ los ciclos en $A_{n}$ y se llama ${\rm {im(\delta _{n+1})}}$ las fronteras de $A_{n}$ .

Se dice que la homología mide la falta de exactitud de un complejo de cadenas en cada uno de sus eslabones. Por ejemplo si tenemos un complejo de cadenas corto

0\to A_{1}{\stackrel {a_{1}}{\to }}A_{2}{\stackrel {a_{2}}{\to }}A_{3}\to 0

entonces sus correspondientes grup(os de homología son:

H(A_{1})=\ker a_{1},\qquad H(A_{2})={\frac {{\rm {ker}}\ a_{2}}{{\rm {im}}\ a_{1}}},\qquad H(A_{3})={\frac {A_{3}}{{\rm {im}}\ a_{2}}}

Es obvio que si la sucesión fuese exacta, entonces estos grupos serían triviales (=0).

Véase también

Referencias

Hatcher, Allen (2002) Algebraic Topology Cambridge University Press

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. «Homology». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.