Complejo de cadenas

En álgebra abstracta un conjunto $\{A_{i},\,\delta _{i}\}$ consistente en estructuras algebraicas $A_{i}$ (ya sea grupos abelianos o anillos o módulos o espacios vectoriales) y $\delta _{i}$ morfismos (según sea la categoría), se llama complejo de cadenas si la construcción

\ldots \to A_{n+1}{\begin{matrix}\delta _{n+1}\\\to \\\,\end{matrix}}A_{n}{\begin{matrix}\delta _{n}\\\to \\\,\end{matrix}}A_{n-1}\to \ldots

satisface $\delta _{n}\circ \delta _{n+1}=0\,$ . Esta última condición implica $\operatorname {im} \delta _{n+1}\subseteq \ker \delta _{n}\,$ para toda $n$ . Este concepto es clave para entender lo que es la homología.

Notación

El símbolo $A_{\bullet }$ se utiliza para designar al par $\{A_{i},\,\delta _{i}\}$ .

La homología

A las estructuras cociente

H_{n}(A_{\bullet })={\frac {\ker \delta _{n}}{{\rm {im\,}}\delta _{n+1}}}\,

se les llama grupos de homología del complejo de cadenas $A_{\bullet }$

Esta última construcción es muy importante en la topología algebraica, pues conforma una de sus principales herramientas.

Morfismo entre cadenas

Un morfismo (de grado cero) entre dos complejos $A_{\bullet }=\{A_{q},\,\delta _{q}\}$ y $B_{\bullet }=\{B_{q},\,\gamma _{q}\}$ es un conjunto $f_{\bullet }=\{f_{q}\}$ de morfismos entre las estructuras algebraicas $A_{q}{\stackrel {f_{q}}{\to }}B_{q}$ tales que $f_{q}\circ \delta _{q+1}=\gamma _{q+1}\circ f_{q+1}$ . Simbólicamente $f_{\bullet }\colon A_{\bullet }\to B_{\bullet }$ indica lo mismo.

Un morfismo de grado d corresponde a una familia de morfismos $A_{q}{\stackrel {g_{q}}{\to }}B_{q-d}$ con la misma propiedad $g_{q}\circ \delta _{q+1}=\gamma _{q+1}\circ g_{q+1}$

Como categoría

Desde el punto de vista de teoría de categorías tenemos la categoría de complejos de cadenas y los cadeno-morfismos. Una utilización de ésta consideración es que las principales teorías de la topología algebraica tales como la homología, cohomología y la homotopía son verdaderos functores que asignan -por ejemplo la homología- a un par topológico $(X,A)$ una familia de grupos abelianos $\{H_{n}(X,A)\}$ que formarán una complejo de cadenas $\cdots \to H_{i}(A)\to H_{i}(X)\to H_{i}(X,A)\to H_{i-1}(A)\to \cdots$ y donde un mapeo continuo $f\colon (X,B)\to (Y,B)$ entre pares topológicos induce un conjunto de morfismos $f_{\#}\colon H_{i}(A)\to H_{i}(B)$ , $f_{\#}\colon H_{i}(X)\to H_{i}(Y)$ y $f_{\#}\colon H_{i}(X,A)\to H_{i}(Y,B)$ con las propiedades suficientes para así considerarle como un cadeno-morfismo.