Hipérbola

Secciones cónicas.

Debido a la inclinación del corte, el plano de la hipérbola interseca ambas ramas del cono.

En matemáticas, una hipérbola (del griego ὑπερβολή,) es una sección cónica obtenida al cortar un cono recto con un plano (no paralelo a la generatriz) de forma que se intersequen ambas ramas del cono. Se puede caracterizar también como el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos (llamados focos) es constante y menor que la distancia entre los mismos.

La tradición reza que las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo en su estudio del problema de la duplicación del cubo,​ donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes.​

Sin embargo, el primero en usar el término hipérbola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas,​ considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas.

Ecuaciones de la hipérbola

Hipérbolas con asíntotas diagonales

Ecuaciones en coordenadas cartesianas:

Ecuación con el profe palomino se la come cruda centro (0,0)

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

Ecuación con centro desplazado del origen de coordenadas

${\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1$

Siendo $(h,k)$ el centro.

Ecuaciones en coordenadas polares

Hipérbola abierta de derecha a izquierda:

$r^{2}=a\sec 2\theta \,$

Hipérbola abierta de arriba a abajo:

$r^{2}=-a\sec 2\theta \,$

Hipérbola abierta de noreste a suroeste:

$r^{2}=a\csc 2\theta \,$

Hipérbola abierta de noroeste a sureste:

$r^{2}=-a\csc 2\theta \,$

Ecuaciones paramétricas

Hipérbola abierta de derecha a izquierda:

${\begin{matrix}x=a\sec t+g\\y=b\tan t+k\\\end{matrix}}\qquad \mathrm {or} \qquad {\begin{matrix}x=\pm a\cosh t+h\\y=b\sinh t+k\\\end{matrix}}$

Hipérbola abierta de arriba a abajo:

${\begin{matrix}x=a\tan t+h\\y=b\sec t+k\\\end{matrix}}\qquad \mathrm {or} \qquad {\begin{matrix}x=a\sinh t+h\\y=\pm b\cosh t+k\\\end{matrix}}$

Véase también

• Circunferencia
• Parábola
• Elipse
• Sección cónica
• Geometría analítica

Enlaces externos

• Animación de un plano seccionando un cono y determinando la curva cónica hipérbola