Grupo topológico

En matemáticas, un grupo topológico es una terna $\scriptstyle (G,{\mathcal {T}},\cdot )$ tal que:

• $\scriptstyle (G,{\mathcal {T}})$ es un espacio topológico.
• $\scriptstyle (G,\cdot )$ es un grupo (no necesariamente abeliano).
• La función $\scriptstyle G\times G\to G$ que aplica $\scriptstyle (x,y)\mapsto x\cdot y$ es continua.
• La función $\scriptstyle G\to G$ que aplica $\scriptstyle x^{-1}\mapsto x$ es continua.

Un subtipo importante de grupos topológicos son los llamados grupos de Lie (nótese que aunque todo grupo de Lie es un grupo topológico, existen grupos topológicos que no son grupos de Lie).

Forma completa

• a) Si a y b son dos elementos del conjunto G, para todo entorno W del elemento ab existen unos entornos U y V de los elementos a yb tales que UV ⊂ W.

• b) Si a es un elemento de del conjunto G, para todo entorno V del elemento a' (inverso de a) existe un entorno del elementos tal que U' ⊂ V ( U' es preimagen de U)está contenido en V.
• c) Si a y b son dos elementos del conjunto G, para todo entorno de ab' existen unos entornos U y V de los elementos a y b tales que UV' ⊂ W ​

Es común requerir que la topología sobre G sea T₀, ya que todo grupo topológico T₀ es también regular.

Casi todos los objetos que investiga el Análisis matemático son grupos topológicos (usualmente con estructura añadida). Cada grupo puede ser convertido trivialmente en un grupo topológico considerándolo con la topología discreta; en este sentido, la teoría de los grupos topológicos subsume a la de los grupos ordinarios.

Ejemplos

• Todo grupo puede ser considerado como un grupo topológico considerando sobre él la topología discreta, dichos grupos son grupos discretos. En este sentido la teoría de los grupos topológicos incluye los grupos finitos ordinarios.
• Los números reales $\scriptstyle \mathbb {R}$ junto con la topología usual, forma un grupo topológico. Un poco más en general el espacio euclídeo $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$ con la topología usual es un grupo topológico, de hecho es un espacio vectorial topológico, como también lo son los espacios de Banach o los espacios de Hilbert.
• Una curva elíptica es un ejemplo de grupo topológico abeliano, que no es un espacio vectorial.

Los ejemplos anteriores son ejemplos de grupos abelianos, también abundan los ejemplos de grupos no abelianos, como lo son los grupos matriciales clásicos. Por ejemplo el grupo lineal general $\scriptstyle \mathrm {GL} (\mathbb {F} ,n)$ de orden n sobre el cuerpo $\scriptstyle \mathbb {F}$

• Un ejemplo de grupo topológico que no es un grupo de Lie lo ofrecen los números racionales $\scriptstyle \mathbb {Q}$ con la topología heredada de $\scriptstyle \mathbb {R}$. Este grupo es un espacio contable que no tiene topología discreta.
• Un ejemplo de grupo topológico no abeliano que no es un grupo de Lie, podría ser el grupo de rotaciones del espacio euclído generado por dos rotaciones generadas por múltiplos irracionales de 2π, alrededor de ejes diferentes.
• En toda álgebra de Banach con identidad multiplicativa, el conjunto de elementos invertibles forma un grupo topológico con la operación de multiplicación.

Véase también

• Grupo de Lie