Grupo de Poincaré

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

En física y matemática, el grupo de Poincaré es el grupo de Lie formado por el conjunto de transformaciones de isometrías del espacio-tiempo de Minkowski.

De acuerdo con el principio de covariancia toda ecuación de la teoría de la relatividad especial debe ser invariante bajo transformaciones que pertenezcan al grupo de Poincaré. Es decir, el grupo de Poincaré se puede concebir como el grupo maximal tal que deja invariante todas las ecuaciones de la relatividad especial. Sin embargo, en general el grupo de Poincaré no desempeña ningún papel importante en teoría de la relatividad general, ya que el grupo de transformaciones que dejan invariante esa teoría en general no incluye un subgrupo homeomorfo al grupo de Poincaré. El grupo de Poincaré sin embargo sí es importante en la teoría cuántica de campos ordinaria que no incluye los efectos de la gravitación, ya que esa teoría se formula sobre el espacio-tiempo plano de Minkowski.

Representación matricial[editar]

El grupo de Poincaré \mathcal{P} es una extensión del grupo de Lorentz O(1,3)\,, más concretamente es el producto semidirecto con el grupo de traslaciones del espacio de Minkowski:

\mathcal{P} = \mathbf{R}^{1,3} \rtimes O(1,3) \subset GL(\R^5)

Por lo que cualquier momento del grupo de Poincaré puede representarse como:

T_\pi = \begin{pmatrix}
\Lambda_{00} & \Lambda_{10} & \Lambda_{20} & \Lambda_{30} & s_0 \\
\Lambda_{01} & \Lambda_{11} & \Lambda_{21} & \Lambda_{31} & s_x \\
\Lambda_{02} & \Lambda_{12} & \Lambda_{22} & \Lambda_{32} & s_y \\
\Lambda_{03} & \Lambda_{13} & \Lambda_{23} & \Lambda_{33} & s_z \\
0            & 0            & 0            & 0            & 1 \end{pmatrix}

Donde:

(\Lambda_{ij})\, son un conjunto de componentes matriciales que definen un elemento del grupo de Lorentz.
(s_x,s_y,s_z)\, pueden interpretarse como un vector espacial, que permite incluir a las traslaciones espaciales dentro del grupo.
s_0\, puede interpretarse como una "traslación" temporal.

Propiedades[editar]

Álgebra de Lie asociada[editar]

En la forma de componentes, el álgebra de Lie del grupo de Poincaré satisface:

  • [P_\mu, P_\nu] = 0
  • [M_{\mu\nu},P_\rho] = \eta_{\mu\rho}P_{\nu} - \eta_{\nu\rho} P_{\mu}
  • [Mμν, Mρσ] = ημρ Mνσ - ημσ Mνρ - ηνρ Mμσ + ηνσ Mμρ

donde P es el generador de traslación y M es el generador de las transformaciones de Lorentz.

Véase también[editar]