Fórmulas de Machin

En matemáticas, las fórmulas de Machin son una clase de identidades que involucran al $\Pi$ = 3.14159... y que generalizan la fórmula original de John Machin de 1706:

{\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}},

que usó junto con la expansión del arco tangente de series de Taylor para calcular π con 100 decimales.

Las fórmulas de Machin tienen la forma

{\frac {\pi }{4}}=\sum _{n}^{N}a_{n}\arctan {\frac {1}{b_{n}}}

con $a_{n}$ y $b_{n}$ s entero.

El mismo método se conoce todavía entre los más eficientes para calcular un gran número de dígitos de π usando computación digital.

Derivación

Para comprender de dónde viene esta fórmula, comenzar con las ideas básicas siguientes

$\tan(\arctan(a))=a$
${\frac {\pi }{4}}=\arctan(1)$
$\tan(2a)={\frac {2\tan(a)}{1-\tan ^{2}(a)}}$ (identidad de la tangente de ángulo doble)
$\tan(a-\arctan(b))={\frac {\tan(a)-b}{1+b\tan(a)}}$ (identidad diferencia tangente)
${\frac {\pi }{16}}=0.196349\dots$ (aproximadamente)
$\arctan \left({\frac {1}{5}}\right)=\arctan(0.2)=0.197395\dots$ (aproximadamente)

En otras palabras, para pequeñas cantidades, el arco tangente es una buena aproximación a la función identidad. Esto conduce a la posibilidad de que un número $q$ pueda encontrarse tal que

{\frac {\pi }{16}}=\arctan \left({\frac {1}{5}}\right)-{\frac {1}{4}}\arctan(q).

Usando el álgebra elemental, se puede aislar $q$ :

q=\tan \left(4\arctan \left({\frac {1}{5}}\right)-{\frac {\pi }{4}}\right)

Utilizando las identidades previas, se sustituye arctan(1) por π/4 y, a continuación, se obtiene el resultado

q={\frac {\tan \left(4\arctan \left({\frac {1}{5}}\right)\right)-1}{1+\tan \left(4\arctan \left({\frac {1}{5}}\right)\right)}}

Asimismo, dos aplicaciones de la identidad de ángulo doble conducen a

\tan \left(4\arctan \left({\frac {1}{5}}\right)\right)={\frac {120}{119}}

y así

q={\frac {{\frac {120}{119}}-1}{1+{\frac {120}{119}}}}={\frac {1}{239}}.

Otras fórmulas pueden generarse utilizando números complejos. Por ejemplo el ángulo de un número complejo a + bi es dado por $\arctan {\frac {b}{a}}$ y cuando se multiplican números complejos se añaden sus ángulos. Si a = b then $\arctan {\frac {b}{a}}$ es de 45 grados o ${\frac {\pi }{4}}$ . Esto significa que si la parte real y compleja son iguales entonces el arco tangente será igual a ${\frac {\pi }{4}}$ . Ya que el arco tangente de uno tiene una tasa de convergencia muy lenta, si encontramos dos números complejos que multiplicados de como resultado la misma parte real e imaginaria, tendremos una fórmula de Machin. Un ejemplo es $(2+i)$ y $(3+i)$ , si se multiplican se llega a $(5+5i)$ . Por lo tanto $\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}={\frac {\pi }{4}}$ .

Si desea utilizar números complejos para demostrar que ${\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}$ en primer lugar debe saber que cuando se multiplica ángulos, el número complejo se eleva a la potencia del número que está multiplicando. Así que $(5+i)^{4}(-239+i)=-2^{2}(13^{4})(1+i)$ y ya que las partes real e imaginaria son iguales, $4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}={\frac {\pi }{4}}$

Fórmulas de dos períodos

Hay exactamente tres fórmulas adicionales de Machin con dos términos; se trata de Euler

{\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}

,

Hermann,

{\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{2}}-\arctan {\frac {1}{7}}

,

y de Hutton

{\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}

.

Más términos

El récord de 2002 de dígitos de $\pi$ , 1,241,100,000,000, fue obtenido por Yasumasa Kanada de la Universidad de Tokio. El cálculo se realizó con una supercomputadora Hitachi de 64 nodos con 1 terabyte de memoria principal, que efectuaba 2 billones de operaciones por segundo. Se utilizaron estas dos fórmulas: