Fórmulas de Machin

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En matemáticas, las fórmulas de Machin son una clase de identidades que involucran al = 3.14159... y que generalizan la fórmula original de John Machin de 1706:

que usó junto con la expansión del arco tangente de series de Taylor para calcular π con 100 decimales.

Las fórmulas de Machin tienen la forma

con y s entero.

El mismo método se conoce todavía entre los más eficientes para calcular un gran número de dígitos de π usando computación digital.

Derivación[editar]

Para comprender de dónde viene esta fórmula, comenzar con las ideas básicas siguientes

  • (identidad de la tangente de ángulo doble)
  • (identidad diferencia tangente)
  • (aproximadamente)
  • (aproximadamente)

En otras palabras, para pequeñas cantidades, el arco tangente es una buena aproximación a la función identidad. Esto conduce a la posibilidad de que un número pueda encontrarse tal que

Usando el álgebra elemental, se puede aislar :

Utilizando las identidades previas, se sustituye arctan(1) por π/4 y, a continuación, se obtiene el resultado

Asimismo, dos aplicaciones de la identidad de ángulo doble conducen a

y así

Otras fórmulas pueden generarse utilizando números complejos. Por ejemplo el ángulo de un número complejo a + bi es dado por y cuando se multiplican números complejos se añaden sus ángulos. Si a = b then es de 45 grados o . Esto significa que si la parte real y compleja son iguales entonces el arco tangente será igual a . Ya que el arco tangente de uno tiene una tasa de convergencia muy lenta, si encontramos dos números complejos que multiplicados de como resultado la misma parte real e imaginaria, tendremos una fórmula de Machin. Un ejemplo es y , si se multiplican se llega a . Por lo tanto .

Si desea utilizar números complejos para demostrar que en primer lugar debe saber que cuando se multiplica ángulos, el número complejo se eleva a la potencia del número que está multiplicando. Así que y ya que las partes real e imaginaria son iguales,

Fórmulas de dos períodos[editar]

relations

Hay exactamente tres fórmulas adicionales de Machin con dos términos; se trata de Euler

,

Hermann,

,

y de Hutton

.

Más términos[editar]

El récord de 2002 de dígitos de , 1,241,100,000,000, fue obtenido por Yasumasa Kanada de la Universidad de Tokio. El cálculo se realizó con una supercomputadora Hitachi de 64 nodos con 1 terabyte de memoria principal, que efectuaba 2 billones de operaciones por segundo. Se utilizaron estas dos fórmulas:

Kikuo Takano (1982).
F. C. w. Störmer (1896).

Las fórmulas más conocidas de Machin, actualmente eficaces para la informática

黃見利 (Hwang Chien-Lih) (1997).
黃見利 (Hwang Chien-Lih) (2003).

Estas fórmulas de Machin se muestran en las siguientes identidades;

o equivalente,

Estas identidades se derivan fácilmente de la definición de arco tangente. Con estas identidades, se muestra la fórmula de Machin como la de Takano;

:

Enlaces externos[editar]