Fórmulas de Machin

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En matemáticas, las fórmulas de Machin son una clase de identidades que involucran al \Pi = 3.14159... y que generalizan la fórmula original de John Machin de 1706:

\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239},

que usó junto con la expansión del arco tangente de series de Taylor para calcular π con 100 decimales.

Las fórmulas de Machin tienen la forma

\frac{\pi}{4} = \sum_{n}^N a_n \arctan\frac{1}{b_n}

con a_n y b_n s entero.

El mismo método se conoce todavía entre los más eficientes para calcular un gran número de dígitos de π usando computación digital.

Derivación[editar]

Para comprender de dónde viene esta fórmula, comenzar con las ideas básicas siguientes

  • \tan(\arctan(a)) = a
  • \frac{\pi}{4} = \arctan(1)
  • \tan(2a) = \frac{2 \tan(a)} {1 - \tan^2(a)} (identidad de la tangente de ángulo doble)
  • \tan(a-\arctan(b)) = \frac{\tan(a)-b} {1 + b\tan(a)} (identidad diferencia tangente)
  • \frac{\pi}{16} = 0.196349\dots (aproximadamente)
  • \arctan\left(\frac{1}{5}\right) = \arctan(0.2) = 0.197395\dots (aproximadamente)

En otras palabras, para pequeñas cantidades, el arco tangente es una buena aproximación a la función identidad. Esto conduce a la posibilidad de que un número q pueda encontrarse tal que

\frac{\pi}{16} = \arctan\left(\frac{1}{5}\right) - \frac{1}{4} \arctan(q).

Usando el álgebra elemental, se puede aislar q:

q = \tan\left(4 \arctan\left(\frac{1}{5}\right) - \frac{\pi}{4}\right)

Utilizando las identidades previas, se sustituye arctan(1) por π/4 y, a continuación, se obtiene el resultado

q = \frac{\tan\left(4 \arctan\left(\frac{1}{5}\right)\right) - 1} { 1 + \tan\left(4 \arctan\left(\frac{1}{5}\right)\right)}

Asimismo, dos aplicaciones de la identidad de ángulo doble conducen a

\tan\left(4 \arctan\left(\frac{1}{5}\right)\right) = \frac{120}{119}

y así

q = \frac{\frac{120}{119} - 1}{1 +\frac{120}{119}} = \frac{1}{239}.

Otras fórmulas pueden generarse utilizando números complejos. Por ejemplo el ángulo de un número complejo a + bi es dado por \arctan\frac{b}{a} y cuando se multiplican números complejos se añaden sus ángulos. Si a = b then \arctan\frac{b}{a} es de 45 grados o \frac{\pi}{4}. Esto significa que si la parte real y compleja son iguales entonces el arco tangente será igual a \frac{\pi}{4}. Ya que el arco tangente de uno tiene una tasa de convergencia muy lenta, si encontramos dos números complejos que multiplicados de como resultado la misma parte real e imaginaria, tendremos una fórmula de Machin. Un ejemplo es (2 + i) y (3 + i), si se multiplican se llega a (5 + 5i). Por lo tanto \arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3} = \frac{\pi}{4}.

Si desea utilizar números complejos para demostrar que \frac{\pi}{4} = 4\arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239} en primer lugar debe saber que cuando se multiplica ángulos, el número complejo se eleva a la potencia del número que está multiplicando. Así que (5+i)^4 (-239+i) = -2^2(13^4)(1+i) y ya que las partes real e imaginaria son iguales, 4\arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239} = \frac{\pi}{4}

Fórmulas de dos períodos[editar]

relations

Hay exactamente tres fórmulas adicionales de Machin con dos términos; se trata de Euler

\frac{\pi}{4} = \arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3},

Hermann,

\frac{\pi}{4} = 2 \arctan\frac{1}{2} - \arctan\frac{1}{7},

y de Hutton

\frac{\pi}{4} = 2 \arctan\frac{1}{3} + \arctan\frac{1}{7}.

Más términos[editar]

El récord de 2002 de dígitos de \pi, 1,241,100,000,000, fue obtenido por Yasumasa Kanada de la Universidad de Tokio. El cálculo se realizó con una supercomputadora Hitachi de 64 nodos con 1 terabyte de memoria principal, que efectuaba 2 billones de operaciones por segundo. Se utilizaron estas dos fórmulas:

 \frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}
Kikuo Takano (1982).
 \frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}
F. C. w. Störmer (1896).

Las fórmulas más conocidas de Machin, actualmente eficaces para la informática


\begin{align}
\frac{\pi}{4} =& 183\arctan\frac{1}{239} + 32\arctan\frac{1}{1023} - 68\arctan\frac{1}{5832} + 12\arctan\frac{1}{110443}\\
& - 12\arctan\frac{1}{4841182} - 100\arctan\frac{1}{6826318}\\
\end{align}
黃見利 (Hwang Chien-Lih) (1997).

\begin{align}
\frac{\pi}{4} =& 183\arctan\frac{1}{239} + 32\arctan\frac{1}{1023} - 68\arctan\frac{1}{5832} + 12\arctan\frac{1}{113021}\\
& - 100\arctan\frac{1}{6826318} - 12\arctan\frac{1}{33366019650} + 12\arctan\frac{1}{43599522992503626068}\\
\end{align}
黃見利 (Hwang Chien-Lih) (2003).

Estas fórmulas de Machin se muestran en las siguientes identidades;

 \arctan x + \arctan y = \arctan \frac{x + y}{1 - xy},
 \arctan x - \arctan y = \arctan \frac{x - y}{1 + xy},

o equivalente,

 \arctan \frac{a}{b} + \arctan \frac{c}{d} = \arctan \frac{ad + bc}{bd - ac},
 \arctan \frac{a}{b} - \arctan \frac{c}{d} = \arctan \frac{ad - bc}{bd + ac}.

Estas identidades se derivan fácilmente de la definición de arco tangente. Con estas identidades, se muestra la fórmula de Machin como la de Takano;


\begin{align}
12 \arctan \frac{1}{49} &+ 32 \arctan \frac{1}{57} - 5 \arctan \frac{1}{239} 
+ 12 \arctan \frac{1}{110443} \\
&= 12 \arctan \frac{46}{2253} + 32 \arctan \frac{1}{57} - 5 \arctan \frac{1}{239} \\
&= 12 \arctan\frac{3}{79} + 20 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} \\
&= 12 \arctan\frac{1}{18} + 8 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} \ \ \ \ \text{(Gauss)} \\
&= 4 \arctan\frac{1}{18} + 8 \arctan\frac{3}{41} - 5 \arctan\frac{1}{239} \\
&= 4 \arctan\frac{17}{331} + 4 \arctan\frac{123}{836} - \arctan\frac{1}{239} \\
&= 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239} \ \ \ \ \text{(Machin)} \\
&= 2 \arctan\frac{5}{12} - \arctan\frac{1}{239} \\
&= \arctan\frac{120}{119} - \arctan\frac{1}{239} \\
&= \arctan 1 = \frac{\pi}{4}.
\end{align}
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Enlaces externos[editar]