Función distancia con signo

En matemáticas la función distancia con signo mide cuán cerca se encuentra un punto x de un conjunto S otorgándole un signo según el punto se encuentre de 'un lado o de otro' del conjunto S.

f(x)={\begin{cases}d(x,S)&{\mbox{ si }}x\in A\\0&{\mbox{ si }}x\in S\\-d(x,S)&{\mbox{ si }}x\in B\end{cases}}

donde

$d(x,S)=\inf _{y\in S}d(x,y)$ es la distancia ordinaria de un punto a un conjunto, A y B son conjuntos disjuntos que se definen según las características de S.

Aunque la definición de la función tiene sentido en un espacio métrico cualquiera y para cualquier conjunto S, habitualmente solo se define en los $\mathbb {R} ^{n}$ y con S con suficientes propiedades.
Si la superficie es completa, es decir, $S=cl(S)$ donde cl es la clausura, podemos reemplazar ínfimo por mínimo.
La función distancia con signo es llamada también función distancia orientada

Función distancia con signo para superficies

Para una superficie S que encierra un volumen la función distancia con signo $b_{S}(x)$ tomará valores positivos fuera de S, irá tendiendo a 0 a medida que x se acerca a $cl(S)$ y tomará valores negativos dentro de S.

b_{S}(x)={\begin{cases}d_{S}(x)&{\mbox{ si }}x\in S^{+}\\0&{\mbox{ si }}x\in cl(S)\\-d_{S}(x)&{\mbox{ si }}x\in S^{-}\end{cases}}

Donde $S^{+}$ es el espacio fuera de la superficie y $S^{-}$ el espacio encerrado por la superficie.

Para superficies que no encierran un volumen es posible también determinar el signo de $b_{S}(x)$ . Sabemos que la elección de un vector normal $N(p)$ en un punto p de una superficie S induce una orientación en S, esto es, un campo continuo de vectores normales a la superficie. Para superficies no orientables en general es posible, de la misma manera, determinar una orientación local en un entorno de p. Luego, como en general $b_{S}(x)$ puede tomarse como la distancia entre x y un único punto $p_{x}\in cl(S)$ , y como $x-p_{x}$ es paralelo a $N(p)$ la función tomara un valor positivo si $x-p_{x}$ tiene el mismo sentido que $N(p)$ y un valo negativo si tienen sentidos opuestos.

Esqueleto

Pueden existir ciertos puntos en el espacio donde la distancia a la superficie puede tomarse como la distancia a dos o más puntos de $cl(S)$ . Este conjunto de puntos lo llamamos esqueleto de S y lo notaremos $\epsilon (S)$ . Por ejemplo, en una esfera su esqueleto es su centro y un cilindro su eje.

$\epsilon (S)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{3}\;/\;b_{S}(x)=s\|x-p_{x}\|=s\|x-p_{y}\|,\;s=\pm 1\;y\;p_{x}\neq p_{y}\right\}$

Propiedades

Si S es una superficie continua y suave a trozos se verifican las siguientes propiedades:

1. Sea $p_{x}\in cl(S)$ tal que $b_{S}(x)=\pm \|x-p_{x}\|$ entonces $x-p_{x}$ es normal a S en $p_{x}$ .

Demostración:

Sea A la esfera de centro x y radio

\|x-p_{x}\|

. Supongamos que

x-p_{x}

no es normal a S en

p_{x}

, entonces A no es tangente a S en

p_{x}

, entonces existirá en un entorno de

p_{x}

un

p_{y}\in S

dentro A, entonces

\|x-p_{y}\|<\|x-p_{x}\|

, lo cual es falso.

2. $b_{S}(x)$ es Lipschitziana de constante k = 1, es decir, $\|b_{S}(x)-b_{S}(y)\|\leq \|x-y\|$ .

Demostración:

Si

x\;e\;y\in S^{+}

entonces

\|x-p_{x}\|\leq \|x-p_{y}\|\leq \|x-y\|+\|y-p_{y}\|

, entonces

\|x-p_{x}\|-\|y-p_{y}\|\leq \|x-y\|

. Si

x\in S^{+}

e

y\in S^{-}

, entonces

\exists z={\overline {xy}}\cap S

tal que

\|x-p_{x}\|\leq \|x-z\|

y

\|y-p_{y}\|\leq \|y-z\|

, entonces

\|x-p_{x}\|+\|y-p_{y}\|\leq \|x-y\|

.

3. $b_{S}(x)$ es diferenciable en casi todos los puntos.

Demostración:

El teorema de Rademacher, establece que si U es un subconjunto abierto de

\mathbb {R} ^{n}

y

f(x)

es Lipschitz continua, entonces

f(x)

es Fréchet diferenciable en casi todo U.

4. $b_{S}(x)$ es diferenciable en x si y solo si $x\notin \epsilon (S)$ y en ese caso existirá un único $p_{x}$ tal que $b_{S}(x)=\pm \|x-p_{x}\|$ y $\nabla b_{S}(x)={\frac {x-p_{x}}{b_{S}(x)}}$ .