Curvatura media

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En matemática, la curvatura media de una superficie es una medida extrínseca de curvatura definida en geometría diferencial y que localmente describe la curvatura de una superficie inmersa surface en algunos ambientes como el espacio euclídeo.

El concepto fue introducido por Sophie Germain en su trabajo sobre teoría de la elasticidad.[1][2]

Definición[editar]

Sea un punto sobre la superficie . Considérense todas las curvas sobre que pasan a través del punto sobre la superficie. Tales tienen una curvatura asociada dada en . De todas esas curvaturas , al menos una está caracterizada como máxima, y otra como mínima, , y esas dos curvaturas son conocidas como las curvaturas principales de .

La curvatura media en es la media de las curvaturas (Spivak, 1999, Volumen 3, Capítulo 2), y de ahí su nombre:

La curvatura media se puede calcular respecto a los coeficientes de la primera y segunda forma fundamental (Do carmo[3]​ 1976, capítulo 3, sección 3)

A partir de esta relación y la fórmula de la curvatura Gaussiana se puede definir el polinomio

Cuyas raíces son las curvaturas principales .

En general (Spivak, 1999, Volumen 4, Capítulo 7), para una hipersuperficie la curvatura media está dada por

Véase también[editar]

Notas[editar]

  1. Dubreil-Jacotin on Sophie Germain
  2. JSTOR 3647744
  3. Do Carmo, Manfredo. Differential Geometry of Curves And Surfaces. 

Referencias[editar]