Función distancia con signo

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En matemáticas la función distancia con signo mide cuán cerca se encuentra un punto x de un conjunto S otrogándole un signo según el punto se encuentre de 'un lado o de otro' del conjunto S.

donde

es la distancia ordinaria de un punto a un conjunto, A y B son conjuntos disjuntos que se definen según las características de S.

  • Aunque la definición de la función tiene sentido en un espacio métrico cualquiera y para cualquier conjunto S, habitualmente solo se define en los y con S con suficientes propiedades.
  • Si la superficie es completa, es decir, donde cl es la clausura, podemos reemplazar ínfimo por mínimo.
  • La función distancia con signo es llamada también función distancia orientada

Función distancia con signo para superficies[editar]

Para una superficie S que encierra un volumen la función distancia con signo tomará valores positivos fuera de S, irá tendiendo a 0 a medida que x se acerca a y tomará valores negativos dentro de S.

Donde es el espacio fuera de la superficie y el espacio encerrado por la superficie.

  • Para superficies que no encierran un volumen es posible también determinar el signo de . Sabemos que la elección de un vector normal en un punto p de una superficie S induce una orientación en S, esto es, un campo continuo de vectores normales a la superficie. Para superficies no orientables en general es posible, de la misma manera, determinar una orientación local en un entorno de p. Luego, como en general puede tomarse como la distancia entre x y un único punto , y como es paralelo a la función tomara un valor positivo si tiene el mismo sentido que y un valo negativo si tienen sentidos opuestos.

Esqueleto[editar]

  • Pueden existir ciertos puntos en el espacio donde la distancia a la superficie puede tomarse como la distancia a dos o más puntos de . Este conjunto de puntos lo llamamos esqueleto de S y lo notaremos . Por ejemplo, en una esfera su esqueleto es su centro y un cilindro su eje.

Propiedades[editar]

Si S es una superficie continua y suave a trozos se verifican las siguientes propiedades:

1. Sea tal que entonces es normal a S en .

Demostración:
Sea A la esfera de centro x y radio . Supongamos que no es normal a S en , entonces A no es tangente a S en , entonces existirá en un entorno de un dentro A, entonces , lo cual es falso.

2. es Lipschitziana de constante k = 1, es decir, .

Demostración:
Si entonces , entonces . Si e , entonces tal que y , entonces .

3. es diferenciable en casi todos los puntos.

Demostración:
El teorema de Rademacher, establece que si U es un subconjunto abierto de y es Lipschitz continua, entonces es Fréchet diferenciable en casi todo U.

4. es diferenciable en x si y solo si y en ese caso existirá un único tal que y .

5. , es solución de la ecuación de la eikonal.

6. , es decir para todo punto x en la superficie S la normal en x es el gradiente de en x.

Demostración:
, entonces

7. La curvatura media en x es igual al Laplaciano en x.

Demostración:

Ejemplos[editar]

  • Distancia a un plano

Para un plano cuyo vector normal es

.
  • Distancia a una esfera

Sea S la esfera de centro y rario r

  • distancia a un toro

Sea S un toro generado al rotar una circunferencia de radio r cuyo centro está separado a una distancia R del eje z y centrado en el origen.

Referencias[editar]

  • Michel C. Delfour,J. P. Zolésio. Shapes and geometries: analysis, differential calculus, and optimization. 

Enlaces externos[editar]