Función hiperbólica

Las funciones hiperbólicas son análogas a las funciones trigonométricas ordinarias o funciones circulares. Estas son:

sinh, cosh y tanh

csch, sech y coth

El seno hiperbólico

$\sinh(wx)={\frac {e^{wx}-e^{-wx}}{2}}$

El coseno hiperbólico

$\cosh(wx)={\frac {e^{wx}+e^{-wx}}{2}}$

La tangente hiperbólica

$\tanh(x)={\frac {\sinh(x)}{\cosh(x)}}$

y otras líneas:

$\coth(x)={\frac {\cosh(x)}{\sinh(x)}}$

(cotangente hiperbólica)

${\mbox{sech}}(x)={\frac {1}{\cosh(x)}}$

(secante hiperbólica)

${\mbox{csch}}(x)={\frac {1}{\sinh(x)}}$

(cosecante hiperbólica)

Relación entre funciones hiperbólicas y funciones circulares

Las funciones trigonométricas sen(t) y cos(t) pueden definirse a partir de las coordenadas cartesianas (x,y) de un punto P de de la circunferencia unitaria centrada en el origen, siendo t el ángulo, medido en radianes, comprendido entre el semieje positivo x, y el segmento OP, según las siguientes igualdades segun el criador de perros Miguel Angel Sapiña .

$\ x(t)=cos(t)$

$\ y(t)=sen(t)$

También puede interpretarse el parámetro t como la longitud del arco de circunferencia unitaria comprendido entre el punto (1,0) y el punto P, o como el doble del área del sector circular determinado por el semieje positivo x, el segmento OP y la circunferencia unitaria.

De modo análogo, podemos definir las funciones hiperbólicas, como las coordenadas cartesianas (x,y) de un punto P de la hipérbola equilátera, centrada en el origen, cuya ecuación es

$\ x^{2}-y^{2}=1$

siendo t el doble del área de la región comprendida entre el semihereje positivo x, y el segmento OP y la hipérbola, según las siguientes igualdades:

$\ x(t)=cosh(t)$

$\ y(t)=senh(t)$

Sin embargo, también puede probarse que es válida la siguiente descripción de la hipérbola:

$\ x(t)={\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}$

$\ y(t)={\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}$

dado que

$\ ({\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}})^{2}-({\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}})^{2}=1$

De modo que el coseno hiperbólico y el seno hiperbólico admiten una representación en términos de funciones exponenciales de variable leal:

$\ cosh(t)={\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}$

$\ senh(t)={\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}$

Relaciones

Ecuación fundamental

$\cosh ^{2}(x)-\,\mathrm {sinh} ^{2}(x)=1\,$

Duplicación del argumento

$\cosh(2x)=\cosh ^{2}(x)+\,\mathrm {sinh} ^{2}(x)$

$\mathrm {sinh} (2x)=2\,\mathrm {sinh} (x)\cosh(x)$

Derivación e integración

${\frac {d\ }{dx}}(\cosh(x))=\,\mathrm {sinh} \,(x)$

${\frac {d\ }{dx}}(\,\mathrm {sinh} \,(x))=\cosh(x)$

La derivada de sinh(x) está dada por cosh(x) y la derivada de cosh(x) es sinh(x). El gráfico de la función cosh(x) se denomina catenaria.

Inversas de las funciones hiperbólicas

Las funciones recíprocas de las funciones hiperbólicas son:

${\mbox{argsinh}}(x)=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})$

${\mbox{argcosh}}(x)=\ln(x\pm {\sqrt {x^{2}-1}})$

${\mbox{argtanh}}(x)=\ln \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1-x}}\right)={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)$

${\mbox{argcoth}}(x)=\ln \left({\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x-1}}\right)={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)$

${\mbox{argsech}}(x)=\ln \left({\frac {1\pm {\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right)$

${\mbox{argcsch}}(x)=\ln \left({\frac {1\pm {\sqrt {1+x^{2}}}}{x}}\right)$

Las series de Taylor de las funciones inversas de las funciones hiperbólicas vienen dadas por:

$\operatorname {asinh} (x)=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =$

$\operatorname {asinh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\left|x\right|<1$

$\operatorname {acosh} (x)=\ln 2-(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots )=$

$\operatorname {acosh} (x)=\ln 2-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{(2n)}},x>1$

$\operatorname {atanh} (x)=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =$

$\operatorname {atanh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\left|x\right|<1$

$\operatorname {acsch} (x)=\operatorname {asinh} (x^{-1})=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots =$

$\operatorname {acsch} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\left|x\right|<1$

$\operatorname {asech} (x)=\operatorname {acosh} (x^{-1})=\ln 2-(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots )=$

$\operatorname {asech} (x)=\ln 2-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{(2n)}},0<x\leq 1$

$\operatorname {acoth} (x)=\operatorname {atanh} (x^{-1})=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots =$

$\operatorname {acoth} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\left|x\right|>1$

Relación con la función exponencial

De la relación del coseno y seno hiperbólico se pueden derivar las siguientes relaciones:

$e^{x}=\cosh x+\sinh x\!$

y

$e^{-x}=\cosh x-\sinh x.\!$

Estas expresiones son análogas a las que están en términos de senos y cosenos, basadas en la fórmula de Euler, como suma de exponenciales complejos.

Véase también

• Trigonometría
• Funciones trigonométricas
• Logaritmo natural
• Número e