Función localmente integrable

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En matemáticas, un función localmente integrable es una función que es integrable en cualquier conjunto acotado contenido en su dominio de definición y cuya adherencia está contenida también en dicho dominio. La importancia del concepto reside en el hecho de que se ignora el comportamiento de la función en el infinito, y se atiende sólo a su comportamiento local.

Definición formal[editar]

Más formalmente, sea \scriptstyle \Omega un conjunto abierto del espacio euclídeo \scriptstyle\R^n y sea \scriptstyle f:\Omega\to\mathbb{C} una función medible en el sentido de Lebesgue. Si la integral de Lebesgue:

 \int_B | f| dx \,

es finita para todo conjunto acotado B \subset \Omega, con \overline{B}\subseteq \Omega, entonces f es una función localmente integrable. El conjunto de todas las funciones localmente integrable es un espacio vectorial designado por:

L^1_{loc}(\Omega)

Propiedades[editar]

Teorema. Toda función \scriptstyle f del espacio L^p(\Omega), \scriptstyle 1\leq p\leq+\infty, donde \Omega es un conjunto abierto de \scriptstyle\mathbb{R}^n es localmente integrable. Para ver esto, basta considerar la función característica \scriptstyle\chi_K de un conjunto compacto\scriptstyle K de \Omega: entonces, para \scriptstyle p\leq+\infty

\left|{\int_\Omega|\chi_K|^q dx}\right|^{1/q}=\left|{\int_K dx}\right|^{1/q}=|\mu(K)|^{1/q}<+\infty

donde

  • q es un número positivo tal que 1/p+1/q=1para un p dado tal que \scriptstyle 1\leq p\leq+\infty
  • \mu(K) es la medida de Lebesgue del conjunto compacto K

Entonces por la desigualdad de Hölder se tiene que:

{\int_K|f|dx}={\int_\Omega|f\chi_K|dx}\leq\left|{\int_\Omega|f|^p dx}\right|^{1/p}\left|{\int_K dx}\right|^{1/q}=\|f\|_p|\mu(K)|^{1/q}<+\infty

Y por tanto:

f\in L^1_{loc}(\Omega)

Nótese que puesto que la siguiente desigualdad es cierta:

{\int_K|f|dx}={\int_\Omega|f\chi_K|dx}\leq\left|{\int_K|f|^p dx}\right|^{1/p}\left|{\int_K dx}\right|^{1/q}=\|f\|_p|\mu(K)|^{1/q}<+\infty

la afirmación se sigue también para funciones fque pertenecen al espacio L^p(K) para cada conjunto compacto K de \Omega.

Referencia[editar]