Función localmente integrable

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

En matemáticas, un función localmente integrable es una función que es integrable en cualquier conjunto acotado contenido en su dominio de definición y cuya adherencia está contenida también en dicho dominio. La importancia del concepto reside en el hecho de que se ignora el comportamiento de la función en el infinito, y se atiende sólo a su comportamiento local.

Definición formal[editar]

Más formalmente, sea un conjunto abierto del espacio euclídeo y sea una función medible en el sentido de Lebesgue. Si la integral de Lebesgue:

es finita para todo conjunto acotado , con , entonces es una función localmente integrable. El conjunto de todas las funciones localmente integrable es un espacio vectorial designado por:

Propiedades[editar]

Teorema. Toda función del espacio , , donde es un conjunto abierto de es localmente integrable. Para ver esto, basta considerar la función característica de un conjunto compacto de : entonces, para

donde

  • es un número positivo tal que para un p dado tal que
  • es la medida de Lebesgue del conjunto compacto

Entonces por la desigualdad de Hölder se tiene que:

Y por tanto:

Nótese que puesto que la siguiente desigualdad es cierta:

la afirmación se sigue también para funciones que pertenecen al espacio para cada conjunto compacto de .

Referencia[editar]