Función generadora de momentos

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En probabilidad y estadística, la función generadora de momentos o función generatriz de momentos de una variable aleatoria X es

siempre que esta esperanza exista.

La función generadora de momentos se llama así porque, si existe en un entorno de t = 0, permite generar los momentos de la distribución de probabilidad:

Si la función generadora de momentos está definida en tal intervalo, entonces determina unívocamente a la distribución de probabilidad.[cita requerida]

Un problema clave con las funciones generadoras de momentos es que los momentos y la propia función generadora no siempre existen, porque las integrales que los definen no son siempre convergentes. Por el contrario, la función característica siempre existe y puede usarse en su lugar.

De forma general, donde es un vector aleatorio n-dimensional, se usa en lugar de :

Cálculo[editar]

Si X tiene una función de densidad continua, f(x), entonces la función generadora de momentos viene dada por

donde es el i-ésimo momento. es, precisamente, la transformada bilateral de Laplace de f(x).

Independientemente de que la distribución de probabilidad sea continua o no, la función generadora de momentos viene dada por la integral de Riemann-Stieltjes

donde F es la función de distribución. Si X1, X2, ..., Xn es una secuencia de variables aleatorias independientes (y no necesariamente idénticamente distribuidas) y

donde las ai son constantes, entonces la función de densidad de Sn es la convolución de la función de densidad de cada una de las Xi y la función generadora de momentos para Sn viene dada por


Para variables aleatorias multidimensionales X con componentes reales, la función generadora de momentos viene dada por

donde t es un vector y es el producto punto.

Relación con otras funciones[editar]

Hay una serie de transformadas relacionadas con la función generadora de momentos que son comunes en la teoría de probabilidades:

Función característica
La función característica está relacionada con la función generadora de momentos via La función característica es la función generadora de momentos de iX o la función generadora de momentos de X evaluada en los ejes imaginarios.
Función generadora acumulada
La función generadora acumulada (o función generadora de cumulantes) está definida como el logaritmo de la función generadora de momentos; hay quien define la función generadora acumulada como el logaritmo de la función característica, mientras que otros llaman a esta función la segunda función generadora acumulada.
Función generadora de probabilidad

Véase también[editar]