Función gamma inversa

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Gráfica de 1/Γ(x) a lo largo del eje real.
Función gamma inversa 1/Γ(z) en el plano complejo. El color de un punto z codifica el valor de 1/Γ(z). Colores fuertes denotan valores cercanos a cero y el tono denota el valor del argumento.

En matemática, la función gamma inversa es la función

donde denota la función gamma. Puesto que la función gamma es meromorfa y distinta de cero en cualquier lugar del plano complejo, su inversa es una función entera. La inversa es usada a veces como punto de inicio para cálculos numéricos de la función gamma, y unas pocas librerías proporcionan separadamente ésta de la función gamma normal.

Karl Weierstrass llamó a la función gamma inversa el "factorielle" y la usó en su desarrollo del teorema de factorización de Weierstrass.

Representación en forma de serie de Taylor[editar]

La expansión en forma de serie de Taylor en torno a 0 viene dada por

donde es la constante de Euler-Mascheroni. Para k > 2, el coeficiente ak para el término zk puede ser calculado recursivamente como

donde ζ(s) es la función zeta de Riemann.

Representación en forma de integral de contorno[editar]

Una representación integral dada por Hermann Hankel es

donde C es el camino que rodea 0 en la dirección positiva, comenzando y volviendo al infinito positivo con respecto del corte de rama a lo largo del eje real positivo. De acuerdo con Schmelzer y Trefethen, la evaluación numérica de la integral de Hankel es la base de algunos de los mejores algoritmos para calcular la función gamma.

Integral a lo largo del eje real[editar]

La integración de la función gamma inversa a lo largo del eje real positivo da el valor

el cual es conocido como constante de Fransén–Robinson.

Véase también[editar]

Referencias[editar]