Teorema de factorización de Weierstrass

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En matemática, concretamente en análisis complejo, el teorema de factorización de Weierstrass, llamado así en honor a Karl Weierstrass, asegura que las funciones enteras pueden ser representadas mediante un producto que envuelve sus ceros. Además, cualquier sucesión que tienda al infinito tiene asociada una función entera con ceros precisamente en los puntos de esa sucesión.

Una segunda forma extendida a funciones meromorfas permite considerar una función meromorfa dada como un producto de tres factores: los polos, los ceros, y una función holomorfa asociada distinta de cero.

Motivación[editar]

Las consecuencias del teorema fundamental del álgebra son dobles.[1] La primera de ellas, cualquier sucesión finita en el plano complejo tiene asociado un polinomio que tiene ceros precisamente en los puntos de esa sucesión,

La segunda de ellas, cualquier función polinómica es el plano complejo tiene una factorización donde a es una constante distinta de cero y cn son los ceros de p.

Las dos formas del teorema de factorización de Weierstrass pueden ser pensadas como extensiones superiores de las funciones enteras. La necesidad de un mecanismo extra se demuestra cuando se considera el producto si la sucesión no es finita. Esto nunca puede definir una función entera, porque el producto infinito no converge. Así que, en general, no se puede definir una función entera de una sucesión de ceros preestablecidos o representar una función entera mediante sus ceros usando las expresiones dadas mediante el teorema fundamental del álgebra.

Una condición necesaria para la convergencia de un producto infinito en cuestión es que, cada factor debe aproximarse a 1 cuando . Así que, parece lógico que se deba buscar una función que podría ser 0 en el punto preestablecido y sin embargo, permanecer próximo a 1 cuando no se encuentre en ese punto, además de no introducir más ceros de los establecidos. Esto se define con los factores elementales de Weierstrass. Estos factores sirven para el mismo propósito que los factores de arriba.

Los factores elementales[editar]

También se les conoce como factores primarios.[2]

Para , se definen los factores elementales como:[3]

Su utilidad radica en el siguiente lema:[3]

Lema (15.8, Rudin) para |z| ≤ 1, n ∈ No

Las dos formas del teorema[editar]

Existencia de una función entera con ceros específicos[editar]

A veces llamado como teorema de Weierstrass.[4]

Sea una sucesión de números complejos distintos de cero tales que . Si es cualquier sucesión de enteros tales que para todo ,

entonces la función

es entera con ceros únicamente en los puntos . Si el número se produce en la sucesión exactamente m veces, entonces la función f tiene un cero en de multiplicidad m.

  • Nótese que la sucesión en la declaración del teorema siempre existe. Por ejemplo siempre se podría tomar y se obtendría convergencia. Tal sucesión no es única: cambiando ésta un número finito de posiciones, o tomando otra secuencia p'n ≥ pn, no se «romperá» la convergencia.
  • El teorema generaliza lo siguiente: sucesiones en conjuntos abiertos (y por lo tanto regiones) de la esfera de Riemann tienen funciones asociadas que son holomorfas en esos subconjuntos y tienen ceros en los puntos de la sucesión.[3]
  • Nótese también que el caso dado por el teorema fundamental del álgebra está incorporado aquí. Si la sucesión es finita entonces se puede tomar y obtener: .

El teorema de factorización de Weierstrass[editar]

A veces llamado como Teorema del producto/factor de Weierstrass.[5]

Sea ƒ una función entera, y sea los ceros distintos de 0 de ƒ, repetidos acorde con su multiplicidad; supóngase también que ƒ tiene un cero en z = 0 de orden m ≥ 0 (un cero de orden m = 0 en z = 0 significa que ƒ(0) ≠ 0). Entonces existe una función entera g y una sucesión de enteros tales que

[6]

Ejemplos de factorización[editar]

Teorema de factorización de Hadamard[editar]

Si ƒ es una función finita con un orden ρ, entonces ésta admite una factorización

donde g(z) es un polinomio de grado q, y q ≤ ρ.[6]

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Knopp, K. (1996), «Weierstrass's Factor-Theorem», Theory of Functions, Part II, New York: Dover, pp. 1-7 .
  2. Boas, R. P. (1954), Entire Functions, New York: Academic Press Inc., ISBN 0821845055, OCLC 6487790 , chapter 2.
  3. a b c Rudin, W. (1987), Real and Complex Analysis (3rd edición), Boston: McGraw Hill, pp. 301-304, ISBN 0070542341, OCLC 13093736 .
  4. Weisstein, Eric W. «Weierstrass's Theorem». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
  5. Weisstein, Eric W. «Weierstrass Product Theorem». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
  6. a b Conway, J. B. (1995), Functions of One Complex Variable I, 2nd ed., springer.com: Springer, ISBN 0387903283