Función biyectiva

Ejemplo de función biyectiva de dos conjuntos finitos, donde se puede ver que $|X|=|Y|$.

En matemáticas, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.

Formalmente, dada una función $f$:

${\begin{array}{rrcl}f:&X&\to &Y\\&x&\to &y=f(x)\end{array}}$

La función es biyectiva si se cumple la siguiente condición:

$\forall y\in Y\;:\quad \exists !\ x\in X\;/\quad f(x)=y$

Es decir, si para todo $y$ de $Y$ se cumple que existe un único $x$ de $X$, tal que la función evaluada en $x$ es igual a $y$.

Dados dos conjuntos $X$ e $Y$ finitos, entonces existirá una biyección entre ambos si y sólo si $X$ e $Y$ tienen el mismo número de elementos.

Proposición

Si $f\,$ es una función real biyectiva, entonces su función inversa $f^{-1}\,$ existe y también es biyectiva.

Ejemplo

La función:

$f(x)=\alpha x+\beta \,$

es biyectiva.

Luego, su inversa:

$f^{-1}(x)={\frac {x-\beta }{\alpha }}\,$ ​ ​

también lo es.​

El siguiente diagrama de grafos bipartitos se puede ver cuando la función es biyectiva:

Funciones	Inyectiva	No inyectiva
Sobreyectiva	Biyectiva
No sobreyectiva

Cardinalidad y biyectividad

Dados dos conjuntos $\scriptstyle A$ y $\scriptstyle B$, entre los cuales existe una función biyectiva $\scriptstyle f:A\to B$ tienen cardinales que cumplen:

${\mbox{card}}(A)={\mbox{card}}(B)\,$

Homeomorfismo

• Mediante una función biyectiva se define un homeomorfismo o una aplicación topológica entre dos espacios topológicos, diciendo que es una transformación biyectiva y bicontinua. ​

Véase también

• Función inyectiva
• Función sobreyectiva
• Correspondencia biunívoca

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Bijection». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.