Forma multilineal

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En matemáticas, dado un anillo conmutativo, una función multilineal es una función de argumentos de espacios vectoriales respectivos. Dicha función se caracteriza por respetar la suma de vectores y la multiplicación escalar en cualquiera de las coordenadas.

Definición[editar]

Sea un anillo conmutativo (por ejemplo o ) y espacios vectoriales sobre .

Una función se dice multilineal si es lineal en cada argumento, es decir, para todo y para todo , se cumple
,
y,
.

Se puede demostrar que la colección de todas las funciones multilineales de en es un -espacio vectorial respecto a las operaciones usuales de suma y multiplicación escalar de funciones. Dicho espacio se denota por . Si y , el espacio se denota por .

Funciones multilineales especiales[editar]

Sea un -espacio vectorial y , es decir, . En álgebra abstracta a una función como se le llama tensor y el conjunto de tensores de argumentos sobre el espacio vectorial se denota por . En otras palabras, .

Se puede demostrar que:

donde denota el espacio dual, y denota el producto tensorial.

Tensor simétrico[editar]

Un tensor se dice simétrico si para cada permutación del grupo simétrico y cualquier elemento se cumple . El -espacio vectorial de todos los tensores simétricos se denota por y obviamente, .

Tensor antisimétrico[editar]

Un tensor se dice antisimétrico si para cada permutación del grupo simétrico y cualquier elemento se cumple , donde denota el signo de la permutación. El -espacio vectorial de todos los tensores antisimétricos se denota por y obviamente, .

Tensor alternado[editar]

Un tensor se dice alternado si dado con la particularidad de que para algún par de índices , se tiene que . El -espacio vectorial de todos los tensores alternados se denota por y . Además, cuando en el anillo conmutativo el es invertible, entonces se tiene la igualdad .

Bibliografía[editar]

Lezama, O., Cuadernos de Álgebra, No. 4: Álgebra Lineal, SAC²: Seminario de Álgebra Constructiva, Departamento de Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogotá. http://www.matematicas.unal.edu.co/sac2/