Forma cúbica

En matemáticas, una forma cúbica es un polinomio homogéneo de grado 3, y una hipersuperficie cúbica es la conjunto de raíces de una forma cúbica. En el caso de una forma cúbica en tres variables, el conjunto de raíces es una curva cúbica plana.

Borís Delaunay y Dmitri Faddéyev demostraron en 1964^[1] que se pueden usar formas cúbicas binarias con coeficientes enteros para parametrizar órdenes en un cuerpo cúbico. Su trabajo se generalizó en (Gan, Gross y Savin, 2002, §4) para incluir todos los anillos cúbicos (un anillo cúbico es un tipo de anillo que es isomorfo a Z³ como Z-módulo),^[2] da un discriminante que preserva la función biyectiva entre las órbitas de una acción-GL(2, Z) en el espacio de formas cúbicas binarias integrales y anillos cúbicos (sin considerar isomorfismos).

La clasificación de formas cúbicas reales $ax^{3}+3bx^{2}y+3cxy^{2}+dy^{3}$ está ligada a la clasificación de puntos umbilicales de superficies. Las clases de equivalencia de tales cúbicas forman un espacio proyectivo real tridimensional y el subconjunto de formas parabólicas define una superficie: el toro umbilical.^[3]

Ejemplos

↑ (Delone y Faddeev, 1964)
↑ De hecho, Pierre Deligne señaló que la correspondencia funciona según un esquema arbitrario.
↑ Porteous, Ian R. (2001), Geometric Differentiation, For the Intelligence of Curves and Surfaces (2nd edición), Cambridge University Press, p. 350, ISBN 978-0-521-00264-6 .

Delone, Boris; Faddeev, Dmitriĭ (1964) [1940, Translated from the Russian by Emma Lehmer and Sue Ann Walker], The theory of irrationalities of the third degree, Translations of Mathematical Monographs 10, American Mathematical Society, MR 0160744 .
Gan, Wee-Teck; Gross, Benedict; Savin, Gordan (2002), «Fourier coefficients of modular forms on G₂», Duke Mathematical Journal 115 (1): 105-169, MR 1932327, doi:10.1215/S0012-7094-02-11514-2 Parámetro desconocido |cite= ignorado (ayuda).
Iskovskikh, V.A.; Popov, V.L. (2001), «Forma cúbica», en Hazewinkel, Michiel, ed., Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .
Iskovskikh, V.A.; Popov, V.L. (2001), «Forma cúbica», en Hazewinkel, Michiel, ed., Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .
Manin, Yuri Ivanovich (1986) [1972], Cubic forms, North-Holland Mathematical Library 4 (2nd edición), Amsterdam: North-Holland, ISBN 978-0-444-87823-6, MR 833513 .