Filtro comb

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Diagrama y análisis espectral de un filtro comb (IIR+FIR) aplicado a ruido blanco.

En el procesamiento de señales, un filtro comb (o peine) se produce al sumarle a la señal original una versión retrasada en el tiempo de sí misma, causando así interferencia constructiva y destructiva. La respuesta en frecuencia de un filtro comb consiste en una serie de picos regularmente espaciados, cuya figura se asemeja a la de un peine (comb, en inglés).

Los filtros comb se pueden identificar de acuerdo al tipo de señal sumada a la entrante. Si sólo depende de los valores previos en la entrada se denomina feedforward o filtro FIR (de Finite Impulse Response: Respuesta Finita al Impulso), y si depende sólo de los valores previos de la salida se llama feedback o filtro IIR (de Infinite Impulse Response: Respuesta Infinita al Impulso). Se pueden implementar en un dominio temporal discreto o continuo; este artículo se basará en implementaciones en tiempo discreto; las propiedades de los filtros en el dominio temporal continuo son muy similares.

Filtros FIR o Feedforward[editar]

Estructura de un filtro comb FIR o Feedforward.
Respuesta en magnitud de un filtro comb Feedforward para distintos valores positivos de .
Respuesta en magnitud de un filtro Feedforward para distintos valores negativos de .
Ruido blanco sin filtrar
¡Precaución en todos los audios! Se sugiere escuchar a un nivel bajo de volumen para evitar daños auditivos y en el sistema de amplificación
Ruido blanco filtrado con un filtro comb FIR con un retraso de 3 milisegundos, y un coeficiente
Ruido blanco filtrado con un filtro comb FIR con un retraso de 3 milisegundos, y un coeficiente
Ruido blanco filtrado con un filtro comb IIR con un retraso de 3 milisegundos, y un coeficiente
Ruido blanco filtrado con un filtro comb IIR con un retraso de 3 milisegundos, y un coeficiente

La estructura general de un filtro comb feedforward es mostrada ala derecha, y es descrita por la siguiente ecuación recurrente:

donde es el tamaño del retraso (medido en muestras), y es un factor de escalamiento aplicado a la señal retrasada. Si tomamos la transformada Z en ambos lados de la ecuación, obtenemos:

Podemos entonces definir la función de transferencia de la siguiente manera:

Respuesta en frecuencia[editar]

Para obtener la respuesta en frecuencia de un sistema temporalmente discreto expresado en el dominio complejo Z, hacemos la sustitución . Para nuestro filtro comb FIR tenemos:

Uno de los parámetros de interés es su respuesta en magnitud, ignorando la fase. Ésta queda definida como:

En el caso de un filtro FIR es:

Nótese que el término es constante, con lo que el término varía periódicamente. Por lo tanto la respuesta en magnitud de un filtro FIR es periódica.

Los gráficos a la derecha muestran la respuesta en magnitud para varios valores de , demostrando esta periodicidad. Algunas propiedades importantes:

  • La respuesta periódicamente decae hasta un mínimo local (conocido a veces como notch), y luego crece hasta un máximo local (también conocido como peak).
  • Los niveles máximos y mínimos están siempre equidistantes de 1.
  • Cuando , el mínimo tiene amplitud 0. En este caso el mínimo es conocido como cero.
  • El máximo de los valores positivos de coincide con el mínimo de los valores negativos de , y viceversa.

Interpretación de polos y ceros[editar]

Mirando nuevamente a la función de transferencia en el dominio complejo Z de un filtro comb FIR:

vemos que el numerador es igual a cero cuando . Tiene por tanto soluciones, que graficadas se encuentran igualmente espaciadas alrededor de un círculo en el plano complejo; esos son los ceros de la función de transferencia. El denominador es cero cuando , dando polos en . El gráfico correspondiente se ve abajo.

Gráfico de polos y ceros de un filtro comb FIR con y .
Gráfico de polos y ceros de un filtro comb FIR con y .

Filtros IIR o Feedback[editar]

Estructura de un filtro comb IIR o feedback.
Respuesta en magnitud de un filtro comb feedback para distintos valores positivos de .
Respuesta en magnitud de un filtro comb feedback para distintos valores negativos de .

En forma similar, la estructura general de un filtro comb IIR es mostrada a la derecha, y es descripta por la siguiente ecuación recurrente:

Si reacomodamos la ecuación para que todos los términos en estén del lado izquierdo y tomamos la transformada Z, tenemos:

La función de transferencia es, por lo tanto:

Respuesta en frecuencia[editar]

Si hacemos la sustitución en el dominio complejo Z, obtenemos la siguiente expresión para los filtros comb IIR:

La respuesta en magnitud se calcula entonces:

Nuevamente, la respuesta es periódica, como demuestra el gráfico a la derecha. El filtro comb IIR tiene algunas propiedades en común con los FIR:

  • La respuesta periódicamente decae hasta un mínimo local y crece hasta un máximo local.
  • El máximo de los valores positivos de coincide con el mínimo de los valores negativos de , y viceversa.

De cualquier manera existen diferencias importantes, debido a que la respuesta en magnitud depende de un término ubicado en el denominador:

  • Los niveles de los máximos y mínimos no son equidistantes de 1.
  • El filtro es estable sólo si es menor que 1. Como podemos ver en los gráficos, cuando crece, las amplitudes de los picos máximos suben rápidamente.

Interpretación de polos y ceros[editar]

Mirando nuevamente la función de transferencia en el dominio Z de un filtro comb IIR:

Esta vez, el numerador es cero siempre que , dando ceros cuando . El denominador es igual a cero cuando . Esto tiene soluciones posibles, igualmente espaciadas alrededor de un círculo ubicado en el plano complejo; esos son los polos de la función de transferencia. Esto produce un gráfico como el que se muestra a continuación.

Gráfico de polos y ceros de un filtro comb IIR con y .
Gráfico de polos y ceros de un filtro comb IIR con y .

Filtros comb en el tiempo continuo[editar]

Los filtros comb pueden ser implementados también en el tiempo continuo. Los FIR son descriptos por la siguiente ecuación:

y los IIR:

donde es el retraso de la señal (medido en segundos).

Utilizando la Transformada de Laplace se puede calcular la respuesta en frecuencia a partir de la función de transferencia, en forma similar al caso discreto con la Transformada Z. Las respuestas de los filtros expresados arriba para tiempo continuo entonces quedan, respectivamente:

Las implementaciones en el tiempo continuo comparten todas las propiedades de las respectivas implementaciones en el tiempo discreto.

Aplicaciones[editar]

Los filtros comb son utilizados en una variedad de aplicaciones de procesamiento de señales. Algunas de ellas son: