Expansión de Engel

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La expansión de Engel de un número real positivo x es la única sucesión no decreciente de enteros positivos tal que

Los números racionales tienen una expansión de Engel finita, mientras que los números irracionales tienen una expansión de Engel infinita. Si x es racional, su expansión de Engel proporciona una representación de x como una fracción egipcia. Las expansiones de Engel son llamadas en honor a Friedrich Engel, quien las estudió en 1913.

Una expasión análoga a la expansión de Engel, en la que términos alternados son negativos, es llamada expansión de Pierce.

Expansiones de Engel, fracciones continuas, y Fibonacci[editar]

Kraaikamp y Wu (2004) observó que una expansión de Engel también puede ser escrita como una variante ascendente de una fracción continua:

Ellos afirman que las fracciones continuas ascendentes tales como esta habían sido estudiadas con anterioridad en Liber Abaci (1202) por Fibonacci. Esta afirmación parece referirse a la notación de la fracción compuesta de Fibonacci en la que una sucesión de numeradores y denominadores que comparten la misma barra fraccionaria representa una fracción continua ascendente:

Si tal notación tiene todos sus numeradores como 0 o 1, como ocurre varias veces en Liber Abaci, el resultado es una expasión de Engel. Sin embargo, las expansiones de Engel como técnica general no parece ser descrita por Fibonacci.

Algoritmo para calcular expansiones de Engel[editar]

Para encontrar la expansión de Engel de x, sea

y

donde es la función techo (el menor entero no menor que r).

Si para cualquier i, el algoritmo se para.

Ejemplo[editar]

Para encontrar la expansión de Engel de 1.175, se realizan los siguientes pasos.

La serie termina aquí. Así,

y la expansión de Engel de 1.175 es {1, 6, 20}.

Expansiones de Engel de números racionales[editar]

Todo número racional positivo tiene una única Expansión de Engel finita. En el algoritmo para la expansión de Engel, si ui es un número racional x/y, entonces ui+1 = (−y mod x)/y. Más aún, en cada paso, el numerador en la fracción restante ui disminuye y el proceso de construcción de la expansión de Engel debe terminar en un número finito de pasos. Todo número racional también tiene una única expansión de Engel infinita: usando la identidad

el dígito final n en una expansión de Engel finita puede ser reemplazado por una sucesión infinita de (n + 1)s sin cambiar su valor. Por ejemplo

Esto es análogo al hecho de que todo número racional con una representación decimal finita también tiene una representación decimal infinita (véase 0.999...). Una expansión de Engel infinita en la que todos sus términos son igual es una serie geométrica.

Erdős, Rényi, y Szüsz se preguntaron por los límites no triviales en la longitud de una expansión de Engel finita de un número racional x/y; esta cuestión fue resuelta por Erdős y Shallit, que demostraron que el número de términos en la expansión es O(y1/3 + ε) para todo ε > 0.[1]

Expansiones de Engel de algunas constantes conocidas[editar]

= {1, 1, 1, 8, 8, 17, 19, 300, 1991, 2492,...} (sucesión A006784 en OEIS)
= {1, 3, 5, 5, 16, 18, 78, 102, 120, 144,...} (sucesión A028254 en OEIS)
= {1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,...} (sucesión A000027 en OEIS)

Y en general,

Más expansiones de Engel para constantes se pueden encontrar aquí.

Tasa de crecimiento de los términos de la expansión[editar]

Los coeficientes ai de una expansión de Engel típicamente exhiben crecimiento exponencial; más concretamente, para casi todos los números en el intervalo (0,1], el límite existe y es igual a e. Sin embargo, el subconjunto del intervalos para el cual esto no es el caso es lo suficientemente grande, tal que su dimensión de Hausdorff es uno.[2]

La misma tasa de crecimiento típica se aplica a los términos en una expansión generada por el algoritmo voraz para fracciones egipcias. Sin embargo, el conjunto de números reales en el intervalo (0,1] cuyas expansiones de Engel coinciden con sus expansiones voraces tiene medida cero, y dimensión de Hausdorff 1/2.[3]

Notas[editar]

  1. Erdős, Rényi y Szüsz (1958); Erdős y Shallit (1991).
  2. Wu (2000). Wu atribuye que el resultado del límite es casi siempre e a Janos Galambos.
  3. Wu (2003).

Referencias[editar]

Enlaces externos[editar]