Evoluta

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Se llama evoluta de una curva "C" dada, al lugar geométrico de los centros de curvatura de "C".

Una elipse (en azul) y su evoluta (verde). El círculo que se mueve es el círculo osculador a la elipse, cuyo centro es el centro de curvatura. También se puede observar que la recta tangente a la evoluta es normal a la elipse, es decir, la evoluta es la envolvente de las normales a la elipse. La evoluta de una elipse se llama astroide.

Ecuaciones[editar]

Sea la curva formada por el conjunto de puntos (x,y) donde x e y son funciones dependientes de una variable, normalmente llamada t para hacer referencia al tiempo. Entonces se puede escribir las coordenadas de la evoluta de la forma

donde a cada (x,y) - o lo que es lo mismo, a un valor de t que determina un punto de la curva - le corresponde un centro de curvatura (X,Y) en función de ese t. La relación entre ese punto y su centro de curvatura permite conocer el radio de curvatura (y por tanto su inversa, la curvatura):

Si y=f(x), es decir, una variable depende de la otra, se puede simplificar observando los resultados de tomar x=t e y=f(t). Los centros de curvatura serán entonces:
y el radio

Eliminando x e y entre ellas se tiene la ecuación de la evoluta:

Ejemplos de evolutas[editar]

Evoluta de la elipse con a=1 y b=2.

Evoluta de la elipse (astroide)[editar]

Dada la elipse:

Su evoluta viene dada por:

que, eliminando el parámetro, queda:

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