En matemáticas, y más precisamente en geometría, una curva estrofoide, o simplemente una estrofoide, es una curva engendrada a partir de una curva dada y de dos puntos (el punto fijo) y (el polo).[1]
En el caso particular en el que es una recta, pertenece a , y no pertenece a , la curva se denomina una estrofoide oblicua. Si, además, es perpendicular a , la curva es denominada una estrofoide recta, o simplemente una estrofoide por ciertos autores. La estrofoide recta a veces también se denomina curva logocíclica.
La curva estrofoidal que corresponde a la curva C, con el punto fijo A y el polo O se construye de la manera siguiente: sea L una recta móvil que pasa por O y que corta C en K. Sean entonces P1 y P2 los dos puntos de L tales que P1K = P2K = AK. El lugar geométrico de los puntos P1 y P2 se denomina la estrofoide de C relativa al polo O y con el punto fijo A. Se observa que AP1 y AP2 son ortogonales.
Sea la curva dada por , donde el origen se toma en ; y sea el punto de coordenadas cartesianas . Si es un punto de la curva, la distancia de a es
Los puntos de la recta tienen por ángulo polar , y los puntos a distancia de sobre esta recta están a una distancia del origen. Por lo tanto, la ecuación de la estrofoide viene dada por
Sea de ecuaciones paramétricas . Sea el punto y el punto . Entonces, las fórmulas polares precedentes muestran que la representación paramétrica de la estrofoide es:
La complejidad de las fórmulas precedentes limita su utilidad a la práctica. Existe por eso una forma alternativa a veces más sencilla, que es particularmente útil cuando es una sectriz de Maclaurin con polos y .
Sea el origen y el punto . Sea un punto de la curva, el ángulo entre y el eje , y el ángulo entre y el eje . Se supone que se da en función de , bajo la forma . Sea el ángulo en tal que . Entonces, se puede determinar en función de usando el teorema de los senos:
Sean y los puntos de la recta a la distancia de , numerados de forma que y . El triángulo es isósceles de ángulo en el vértice, y por lo tanto los ángulos de la base , y valen . El ángulo entre y el eje es entonces
Empleando el hecho de que y son perpendiculares (puesto que el triángulo está inscrito en una semicircunferencia), el ángulo entre y el eje vale
La ecuación polar de la estrofoide se deduce entonces de y según las fórmulas precedentes:
es una sectriz de Maclaurin de polos y cuando es de la forma . En este caso, y tienen la misma forma, y la estrofoide es o bien otra sectriz de Maclaurin, o bien una pareja de sectrices. Se puede encontrar una ecuación polar sencilla si se toma el origen en el punto simétrico de respecto de .
Sea una recta que pasa por . Entonces, en las notaciones precedentes, (donde es una constante); y y . Las ecuaciones polares de la estrofoide correspondiente con el origen en , denominada estrofoide oblicua, toman la forma
y
Se verifica fácilmente que estas dos ecuaciones describen de hecho la misma curva.
Tomando el origen en (véase el artículo sobre la sectriz de Maclaurin) y reemplazando por , se obtiene
Esta curva se denomina estrofoide recta, y corresponde al caso donde es el eje , es el origen, y es el punto .
Su ecuación cartesiana es
y su representación paramétrica unicursal es:
La curva se asemeja al folium de Descartes, y la recta es asíntota de las dos ramas infinitas. La curva posee dos asíntotasimaginarías más en el plano complejo, dadas por
Estrofoides de circunferencias que pasan por puntos fijos[editar]
Sea una circunferencia que pasa por y por . Tomando por origen y en , con las notaciones precedentes (donde es una constante), se tiene que y que . Entonces, las ecuaciones polares de las estrofoides correspondientes son
y
Son las ecuaciones de dos circunferencias que pasan también por y , y forman ángulos de con en estos puntos.