Diferencia entre revisiones de «Grupo resoluble»
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Un grupo finito ''G'' se dice '''resoluble''' (o '''soluble''') si existe una cadena finita de [[Subgrupo|subgrupos]] <math>\{G_i\}_{i=1}^{n}\subset G</math> tal que: |
Un grupo finito ''G'' se dice '''resoluble''' (o '''soluble''') si existe una cadena finita de [[Subgrupo|subgrupos]] <math>\{G_i\}_{i=1}^{n}\subset G</math> tal que:h>. |
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:<math> \{1_G\}=G_0\subseteq G_1 \subseteq \dots \subseteq G_n = G,</math> |
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donde para cada <math>i=0,1,\dots,n-1</math> se cumple que: |
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*: <math> G_i </math> es [[subgrupo normal]] en <math>G_{i+1}</math>, notado usualmente como <math>G_i \triangleleft G_{i+1}</math>. |
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*: El [[grupo cociente]] <math> G_{i+1}/G_i </math> es abeliano. |
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A la anterior cadena, cuando exista, se le suele denominar ''torre '', según Serge Lang. |
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Otra forma de definir la solubilidad de un grupo es a partir de los [[subgrupo conmutador|subgrupos conmutadores]]. Definimos <math> G^{(0)}=G </math> y <math> G^{(i+1)}=[G_i,G_i] </math>. Tendremos entonces una sucesión decreciente de subgrupos, a la que llamamos serie derivada: |
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:<math> G=G^{(0)}\supseteq G^{(1)} \supseteq G^{(2)} \dots, </math> donde <math> G^{(i+1)}\vartriangleleft G^{(i)} </math> para todo i. |
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El grupo es soluble si existe <math> n\in\mathbb N </math> tal que <math> G^{(n)}=\{1_G\} </math>. |
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Las dos definiciones son equivalentes porque dados un grupo <math> J </math> y un subgrupo normal <math> N\vartriangleleft J </math>, se tiene que <math> J/N</math> es [[grupo abeliano|abeliano]] si y solo si <math> [J,J]\subseteq N</math>. |
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== Ejemplos == |
== Ejemplos == |
Revisión del 02:07 19 sep 2014
Definición
Un grupo finito G se dice resoluble (o soluble) si existe una cadena finita de subgrupos tal que:h>.
Ejemplos
- Todo grupo abeliano es resoluble, ya que y , dado que y además , por lo que es abeliano.
- es resoluble. Basta ver que es una torre abeliana, con el grupo alternado para .
- es resoluble. Basta ver que , es una torre abeliana de , donde .
- es resoluble. Se puede ver que es una torre abeliana de .
- es un grupo no resoluble, ya que se conoce que es simple, por lo que la única cadena posible es , pero no es abeliano, dado que .
Propiedades
- Si es un grupo soluble y es un homomorfismo de grupos entonces es soluble. Esto es equivalente, gracias al primer teorema de isomorfismos, a que si y es soluble entonces es soluble.
- Si es soluble y entonces es soluble.
- Si verifican que tanto como son solubles entonces es soluble.
- De las propiedades anteriores podemos deducir que el producto directo es soluble si y solo si y lo son.
Importancia
Está ligado a la teoría de Galois y a la resolución de ecuaciones algebraicas. Un teorema importante en ese sentido es:
Un polinomio g sobre K (con característica 0) es resoluble por radicales si y solo si su grupo de Galois sobre K es soluble.[1]
Referencias
- ↑ http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/asignaturas/teogal1112/capitulo4.pdf , apuntes de la asignatura Álgebra 2, de la Universidad Autónoma de Madrid, escritas por Fernando Chamizo.