Diferencia entre revisiones de «Espacio compacto»

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Revisión del 23:21 19 sep 2010

En matemática, más específicamente topología, un espacio compacto es un espacio que contiene todos sus posibles puntos límites. El ejemplo paradigmático de espacio compacto es un intervalo cerrado de la recta, y más en general cualquier conjunto cerrado y acotado del espacio euclídeo. Un ejemplo de espacio no compacto es la recta real, pues no es acotada y contiene sucesiones que tienden a infinito. Otro ejemplo es el conjunto de los números racionales, pues uno puede acercarse arbitrariamente a puntos que faltan.

Compacidad en el Espacio Euclideo

Un subconjunto $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ es compacto si satisface las siguientes condiciones equivalentes:

HB: todo cubrimiento por abiertos admite un subcubrimiento finito.
PIF: si una familia de cerrados cumple que de a finitos se intersecan, entonces todos ellos se intersecan.
toda sucesión en $A$ admite una subsucesión convergente.

El teorema de Heine-Borel establece que los subconjuntos compactos de $\mathbb {R} ^{n}$ son exactamente los conjuntos cerrados y acotados, lo que brinda una nueva definición equivalente en este contexto.

Compacidad en Espacios Métricos

La compacidad en espacios métricos se define del mismo modo: $(E,d)$ es compacto si satisface alguna de las tres condiciones anteriores. El teorema de Heine-Borel admite en este contexto la siguiente variación: un espacio métrico es compacto si y sólo si es completo y totalmente acotado.

Definición general

En topología, un espacio topológico $X$ se dice compacto si satisface las siguientes condiciones equivalentes:

HB: Todo cubrimiento abierto de $X$ admite un subcubrimiento finito.
PIF: Si $\{F_{i}\}_{i\in I}$ es una familia de cerrados en $X$ tal que $\cap _{finitos}F_{i}\neq \emptyset$ , entonces $\cap _{todos}F_{i}\neq \emptyset$ .
Toda red en $X$ admite una subred convergente.
La función al punto $X\to \ast$ es propia.

Teorema de Arzelá-Ascoli

El teorema de Heine-Borel da una caracterización útil en los espacios vectoriales normados de dimensión finita: $K$ es compacto si y solo si es cerrado y acotado. Sin embargo, en dimensión infinita, esto no es verdad, y, de hecho, en este contexto la bola unitaria cerrada jamás será compacta; por lo mismo, es mucho más difícil verificar compacidad. Un resultado importante en los espacios de funciones continuas es el teorema de Arzelá-Ascoli.

Véase también

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 #PIF: Si <math>\{F_i\}_{i\in I}</math> es una familia de cerrados en <math>X</math> tal que <math>\cap_{finitos} F_i \neq\emptyset</math>, entonces <math>\cap_{todos} F_i \neq\emptyset</math>.
 # Toda [[Red (matemática)|red]] en <math>X</math> admite una subred convergente.
-# La función al punto <math>X\to\ast</math> es propia.
+# La función al punto <math>X\to\ast</math> es [[morfismo propio|propia]].
-== Algunas Propiedades ==
+== Teorema de Arzelá-Ascoli ==
-Se cumple que si <math>X</math> es variedad afín, entonces <math>K</math> será conexo por caminos. Se cumple además que todo subconjunto acotado de un precompacto será también paracompacto.
-Si se tiene que <math>(X,d)</math> es un [[espacio métrico]], entonces, para <math>K\subset X</math>, las siguientes proposiciones son todas equivalentes:
-Además, se tiene que <math>K</math> será siempre cerrado y acotado.
 El [[teorema de Heine-Borel]] da una caracterización útil en los [[espacios vectoriales normados]] de dimensión finita: <math>K</math> es compacto si y solo si es cerrado y acotado. Sin embargo, en dimensión infinita, esto no es verdad, y, de hecho, en este contexto la bola unitaria cerrada jamás será compacta; por lo mismo, es mucho más difícil verificar compacidad. Un resultado importante en los espacios de funciones continuas es el [[teorema de Arzelá-Ascoli]].
-== Importancia de los Conjuntos Compactos ==
-Los conjuntos compactos tienen gran importancia en diversos resultados del análisis, siendo uno de los más importantes el [[teorema de Weierstrass]]: toda función real continua definida sobre un espacio compacto alcanza su máximo y su mínimo.
-Otro resultado importante es el [[teorema de Heine]], que indica que toda función continua cuyo dominio sea un conjunto compacto, será [[Continuidad uniforme|uniformemente continua]].
 == Véase también ==