Espacio de Sóbolev

Un espacio de Sóbolev es un tipo de espacio vectorial funcional, dotado de una norma de tipo L^p, tal que la función y sus derivadas hasta cierto orden tienen norma finita. Un espacio de Sóbolev puede ser considerado como un subespacio de un espacio L^p, estos espacios reciben su nombre del matemático ruso Sergéi Sóbolev.

Espacios $W^{m,p}(\Omega )$

Un espacio de Sóbolev es un espacio vectorial normado de funciones puede verse como un subespacio de un espacio L^p. De hecho un espacio de Sóbolev es un subespacio del espacio L^p formado por clases de funciones tales que sus derivadas hasta orden m pertenecen también a L^p. Dado un dominio $\scriptstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ el espacio de Sobolev $\scriptstyle W^{m,p}(\Omega )\,$ se define como:

$W^{m,p}(\Omega )=\{f\in L^{p}(\Omega )|\ D^{\alpha }f\in L^{p}(\Omega ),\ \forall \alpha \in \mathbb {N} ^{n}:|\alpha |\leq m\ \}\subset L^{p}(\Omega )$

Donde $D^{\alpha }f\,$ es la notación multi-índice para las derivadas parciales. Debe tenerse presente que dicho espacio está de hecho formado realmente por clases de equivalencia de funciones.

La norma del espacio de Sóbolev se define a partir de la norma $\|\cdot \|_{L^{p}(\Omega )}$ de L^p:

$\|f\|_{m,p,\Omega }=\left[\sum _{|\alpha |\leq m}\|D^{\alpha }f\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right]^{1/p},\qquad 1\leq p<\infty$

$\|f\|_{m,\infty ,\Omega }=\max _{|\alpha |\leq m}\|D^{\alpha }f\|_{L^{\infty }(\Omega )}$

Algunas propiedades interesantes son:

• Los espacios de Sóbolev son reflexivos para $\scriptstyle 1<p<\infty$
• El espacio de Sóbolev $\textstyle W^{0,p}(\Omega )=L^{p}(\Omega )$
• $\textstyle W^{m,p}(\Omega )\hookrightarrow \hookrightarrow W^{k,p}(\Omega )$ si $\textstyle m>k$
• $\textstyle C^{m}({\bar {\Omega }})\hookrightarrow W^{m,p}(\Omega )$
• $\textstyle C^{\infty }({\bar {\Omega }})\cap W^{m,p}(\Omega )$ es denso en $\textstyle W^{m,p}(\Omega )$

Esta última propiedad permite definir un subespacio de clases de equivalencia de funciones que se anulan sobre la frontera, a partir de la clausura topológica:

$W_{0}^{m,p}(\Omega )={\overline {W^{m,p}(\Omega )\cap C_{0}^{\infty }(\Omega )}}$

Espacios $H^{m}(\Omega )$

Algunos espacios de Sóbolev, con $p=2\,$ pueden ser dotados de la estructura de espacio de Hilbert al igual que los espacios L²:

$H^{m}(\Omega )\equiv W^{m,2}(\Omega )$

Donde el producto interno se define a partir del producto interno de L²:

$(f,g)_{H^{m}(\Omega )}=\sum _{|\alpha |\leq m}(D^{\alpha }f,D^{\alpha }g)_{L^{2}(\Omega )}$

Analagamente al caso de los espacios $W_{0}^{m,p}(\Omega )$ se define el espacio:

$H_{0}^{m}(\Omega )={\overline {H^{m}(\Omega )\cap C_{0}^{\infty }(\Omega )}}$

Referencia

Bibliografía

• R. A. Adams (1975): Sobolev Spaces, Academic Press, New York, 1975.
• R. Dautray & J.L. Lions, Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology, Vol II, Functional and Variational Methods, Springer-Verlag, Nwe York, 1988.
• S.L. Sobolev, "On a theorem of functional analysis" Transl. Amer. Math. Soc. (2) , 34 (1963) pp. 39–68 Mat. Sb. , 4 (1938) pp. 471–497
• S.L. Sobolev, "Some applications of functional analysis in mathematical physics" , Amer. Math. Soc. (1963)
• E. Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and its Applications. I: Fixed-point Theorems, Springer-Verlag, New York, 1985.
• E. Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and its Applications. IIA: Fixed-point Theorems, Springer-Verlag, New York, 1990.
• E. Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and its Applications. III: Fixed-point Theorems, Springer-Verlag, New York, 1986.