Diferencia entre revisiones de «Banda de Möbius»

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Contenido eliminado Contenido añadido
Juan Marquez (discusión · contribs.)
→‎Geometría: \scriptstyle-ando
Juan Marquez (discusión · contribs.)
Línea 58: Línea 58:




[[Topología|Topológicamente]], la banda de Möbius puede definirse como el [[cuadrado]] <math>[0,1] \times [0,1]</math> que tiene sus aristas superior e inferior identificadas ([[topología cociente]]) por la relación <math>(x,0)\,</math> <math>\sim\,</math> <math>(1-x,1)\,</math>
[[Topología|Topológicamente]], la banda de Möbius puede definirse como el [[cuadrado]] <math>\scriptstyle[0,1] \times [0,1]</math> que tiene sus aristas superior e inferior identificadas ([[topología cociente]]) por la relación <math>\scriptstyle(x,0)\,</math> <math>\sim\,</math> <math>\scriptstyle (1-x,1)\,</math>
para <math>0 \le x \le 1</math>, como en el diagrama que se muestra en la figura de la derecha.
para <math>\scriptstyle 0 \le x \le 1</math>, como en el diagrama que se muestra en la figura de la derecha.
[[Imagen:MöbiusStripAsSquare.svg|thumb|right|Para transformar un cuadrado en una banda de Möbius, unir las aristas etiquetadas con ''A'' de manera tal que las direcciones en que las flechas apuntan sea la misma.]]
[[Imagen:MöbiusStripAsSquare.svg|thumb|right|Para transformar un cuadrado en una banda de Möbius, unir las aristas etiquetadas con ''A'' de manera tal que las direcciones en que las flechas apuntan sea la misma.]]


La banda de Möbius es una [[variedad]] bidimensional (es decir, una [[superficie]]). Es un ejemplo estándar de una superficie no [[Orientación (geometría)|orientable]]. La banda de Möbius es un ejemplo elemental -también- para ilustrar el concepto matemático de [[fibrado|fibrado topológico]].
La banda de Möbius es una [[variedad]] bidimensional (es decir, una [[superficie]]). Es un ejemplo estándar de una superficie no [[Orientación (geometría)|orientable]]. La banda de Möbius es un ejemplo elemental -también- para ilustrar el concepto matemático de [[fibrado|fibrado topológico]].


Precisamente, como objeto topológico, la banda de Möbius también es considerada como el '''espacio total''' <math>Mo\,</math> de un fibrado no trivial teniendo como '''base''' el [[1-esfera|círculo]] <math>S^1</math> y '''fibra''' un intervalo, i.e.
Precisamente, como objeto topológico, la banda de Möbius también es considerada como el '''espacio total''' <math>\scriptstyle Mo\,</math> de un fibrado no trivial teniendo como '''base''' el [[1-esfera|círculo]] <math>\scriptstyle S^1</math> y '''fibra''' un intervalo, i.e.
::<math>I\subset Mo\to S^1</math>
::<math>\scriptstyle I\subset Mo\to S^1</math>
El contraste con el fibrado trivial <math>I\subset S^1\times I\to S^1</math>
El contraste con el fibrado trivial <math>\scriptstyle I\subset S^1\times I\to S^1</math>
es agradable pues se sabe que sólo hay dos de estos fibrados E
es agradable pues se sabe que sólo hay dos de estos fibrados E
:<math>I\subset E\to S^1</math>
:<math>\scriptstyle I\subset E\to S^1</math>
Es decir, <math>S^1\times I</math> y <math> Mo\,</math> son todos los [[:en:I-bundle|I-fibrados]] sobre el círculo.
Es decir, <math>\scriptstyle S^1\times I</math> y <math>\scriptstyle Mo\,</math> son todos los [[:en:I-bundle|I-fibrados]] sobre el círculo.


== Objetos relacionados ==
== Objetos relacionados ==

Revisión del 17:48 29 ago 2008

La banda de Moebius o cinta de Moebius (pronunciado /ˈmøbiʊs/ o en español a menudo "moebius", pero nunca "mobius") es una superficie con una sola cara y un solo borde, o componente de contorno. Tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable. También es una superficie reglada. Fue co-descubierta en forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing en 1858.

Una cinta de Moebius construida con un trozo de papel y cinta adhesiva.

Construcción de una cinta de Möbius

Para construirla, se toma una cinta de papel y se pegan los extremos dando media vuelta a uno de ellos.

Se parte de una cinta cerrada de dos componentes en la frontera (un cilindro ), se hace un corte (entre las dos fronteras), se gira 180° uno de los extremos y se vuelve a pegar.

Propiedades

El símbolo internacional de Reciclaje es una banda de Moebius.

La banda de Möbius tiene las siguientes propiedades:

  • Tiene sólo una cara:

si se colorea la superficie de una cinta de Möbius, comenzando por la "aparentemente" cara exterior, al final queda coloreada toda la cinta, por tanto, sólo tiene una cara y no tiene sentido hablar de cara interior y cara exterior (véase: [1]).

  • Tiene sólo un borde:

lo que se puede comprobar siguiendo el borde con un dedo, notando que se alcanza el punto de partida habiendo recorrido "ambos bordes", por tanto, sólo tiene un borde.

  • Esta superficie no es orientable:

Una persona que se desliza tumbada sobre una banda de Möbius, con el brazo derecho levantado, al dar una vuelta completa aparecerá con el brazo izquierdo levantado. Si se parte con una pareja de ejes perpendiculares orientados, al desplazarse paralelamente a lo largo de la cinta, se llegará al punto de partida con la orientación invertida.

  • Otras propiedades:

Si se corta una cinta de Möbius a lo largo, a diferencia de una cinta normal, no se obtienen dos bandas, sino que se obtiene una banda más larga pero con dos giros. Si a ésta banda se la vuelve a cortar a lo largo, se obtienen otras dos bandas entrelazadas pero con vueltas. A medida que se van cortando a lo largo de cada una, se siguen obteniendo más bandas entrelazadas (se puede ver en esta grabación: [2]).

Este objeto se utiliza frecuentemente como ejemplo en topología.

Geometría

Plot paramétrico de una banda de Möbius

Una forma de representar la banda de Möbius (cerrada y con frontera) como un subconjunto de es mediante la parametrización:

donde y .


Representa una banda de Möbius de ancho unitario, cuya circunferencia central tiene radio unitario y se encuentra en el plano coordenado x-y centrada en . El parámetro u recorre la banda longitudinalmente, mientras v se desplaza de un punto a otro del borde, cruzando transversalmente la circunferencia central.

Con la parametrización anterior podemos obtener su curvatura gaussiana la cual es:

En coordenadas cilíndricas , se puede representar una versión sin frontera (abierta) de la banda de Möbius mediante la ecuación:

Topología

Topológicamente, la banda de Möbius puede definirse como el cuadrado que tiene sus aristas superior e inferior identificadas (topología cociente) por la relación para , como en el diagrama que se muestra en la figura de la derecha.

Para transformar un cuadrado en una banda de Möbius, unir las aristas etiquetadas con A de manera tal que las direcciones en que las flechas apuntan sea la misma.

La banda de Möbius es una variedad bidimensional (es decir, una superficie). Es un ejemplo estándar de una superficie no orientable. La banda de Möbius es un ejemplo elemental -también- para ilustrar el concepto matemático de fibrado topológico.

Precisamente, como objeto topológico, la banda de Möbius también es considerada como el espacio total de un fibrado no trivial teniendo como base el círculo y fibra un intervalo, i.e.

El contraste con el fibrado trivial es agradable pues se sabe que sólo hay dos de estos fibrados E

Es decir, y son todos los I-fibrados sobre el círculo.

Objetos relacionados

Análoga a la banda de Möbius es la botella de Klein, pues también tiene sólo una superficie, donde no se puede diferenciar "fuera" de "dentro".

Esto último significa que mientras la banda se encaja (embedding) en , la botella no.

La Banda de Möbius en el arte

El 17 de octubre de 1996, se estrenó la película Moebius,[1][2]​ realizada en Argentina. Dicha película hace referencia a la teoría de la cinta que lleva el mismo nombre, aplicada a una supuesta red de subterráneos de la Ciudad de Buenos Aires ampliada. Se basa en un cuento de A. J. Deutsch, A Subway Named Moebius (1950).


Véase también

Referencias no matemáticas

  1. Ficha técnica de Moebius la Pelicula
  2. Moebius en IMDB

Enlaces externos